高数下册 · 交互讲义
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高等数学（下）· 讲义第 23–27 页
10

一元函数积分学的应用-几何应用（微元法）

30
内容块
9
例题
4
公式表
2
互动图解

与原稿逐页对照（卡片右上角页码签）· 课堂笔记与随堂例题见右栏

➊（一）基础知识#

一. 平面图形的面积#

利用定积分求平面图形的面积，一般可先作出大致图形，找出平面图形的边界及其对应函数，写出被积函数，确定积分上、下限并计算。

讲义 P23
表 TABLE10.1平面图形面积公式共 2 式
(1)
A=∫ab∣f(x)−g(x)∣ dxA=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx
直角坐标P23
(2)
A=12∫αβ∣r12(θ)−r22(θ)∣dθA=\frac12\int_\alpha^\beta\left|r_1^2(\theta)-r_2^2(\theta)\right|d\theta
极坐标P23
(1)曲线 y=f(x)y=f(x) 与 y=g(x)y=g(x) 及 x=a,x=b (b>a)x=a,x=b\ (b>a) 围成的平面图形的面积
(2)极坐标曲线 r=r1(θ)r=r_1(\theta) 与 r=r2(θ)r=r_2(\theta) 及两射线 θ=α,θ=β (0<β−α≤2π)\theta=\alpha,\theta=\beta\ (0<\beta-\alpha\leq2\pi) 之间的曲边扇形的面积
讲义 P23
解题范式 PATTERN

范式：面积问题先定界再积分

识别特征　求两条（或多条）曲线围成的平面图形面积。

固定套路
  1. 画出大致图形，标出每条边界曲线
  2. 联立方程求全部交点（交点的横坐标往往就是积分分段点）
  3. 逐段判断谁在上、谁在下（极坐标则谁在外、谁在内），写成 ∫(上−下) dx\int(\text{上}-\text{下})\,dx
  4. 逐段积分后相加；公式带绝对值时按交点拆开去绝对值

易错点　① 漏求交点导致上下限写错；② 曲线在区间内交叉时没有分段，直接 ∫ab(f−g) dx\int_a^b(f-g)\,dx 会正负抵消；③ 极坐标面积公式漏掉系数 12\dfrac12。

经验　面积题 80% 的工作量在“定界”：交点求对、上下判对，积分只是收尾。

讲义 P23
曲线间面积 · 微元条演示
x₀aby=x+2y=x^2
微元位置 x₀ = 0.50
y=x+2y=x+2（蓝）与 y=x2y=x^2（绿）
微元面积 dA=∣f(x0)−g(x0)∣ dxdA=|f(x_0)-g(x_0)|\,dx ≈ 2.2500·dx
从 a 积到 x₀ 的阴影面积 ≈ 2.2500；全区间总面积 ≈ 4.5000，精确值 92\dfrac{9}{2}

面积 = 无数根竖直微元条之和：先求交点定 [a,b][a,b]，再让上曲线减下曲线，绝对值保证不漏交叉情形。

拖动微元条 x0x_0：看 dA=∣f(x0)−g(x0)∣ dxdA=|f(x_0)-g(x_0)|\,dx 如何逐条累积成总面积

二. 旋转体体积#

若旋转体由区域 DD（由 y=f(x),x=a,x=b (b>a≥0)y=f(x),x=a,x=b\ (b>a\geq0)，以及 xx 轴围成的曲边梯形）绕 xx 轴旋转而来，则该旋转体的体积为 VxV_x；区域 DD 绕 yy 轴旋转所得旋转体的体积为 VyV_y。

讲义 P23
表 TABLE10.2旋转体体积公式（区域 $D$ 为上述曲边梯形）共 2 式
(1)
Vx=π∫ab[f(x)]2 dxV_x=\pi\int_a^b[f(x)]^2\,dx
绕 x 轴（圆盘法）P23
(2)
Vy=2π∫abx∣f(x)∣ dxV_y=2\pi\int_a^b x|f(x)|\,dx
绕 y 轴（柱壳法）P23
(1)微元：竖直小条绕 xx 轴转出薄圆盘 dV=πf2(x) dxdV=\pi f^2(x)\,dx
(2)微元：竖直小条绕 yy 轴转出薄柱壳 dV=2πx⋅∣f(x)∣ dxdV=2\pi x\cdot|f(x)|\,dx
讲义 P23
解题范式 PATTERN

范式：微元法四步套路

识别特征　凡是用定积分求几何量（面积、体积、弧长、侧面积、平均值）的应用题。

固定套路
  1. 选积分变量（xx、yy 或 θ\theta），画出大致图形
  2. 取代表性微元：[x,x+dx][x,x+dx] 上的小条、小环、小段弧
  3. 写出微元表达式（如 dA=(上−下)dxdA=(\text{上}-\text{下})dx，dV=πf2dxdV=\pi f^2dx，ds=1+f′2dxds=\sqrt{1+f'^2}dx），近似中扔掉高阶无穷小
  4. 定上、下限，对微元积分求和

易错点　① 微元近似用错（如把弧长微元写成 dxdx 而非 dx2+dy2\sqrt{dx^2+dy^2}）；② 上下限与积分变量不匹配；③ 忘记旋转轴变了微元半径也要跟着变。

经验　微元法的灵魂：局部“以直代曲、以不变代变”，把几何量写成某个微元的积分。

讲义 P23
解题范式 PATTERN

范式：圆盘/垫圈法 vs 柱壳法怎么选

识别特征　求平面区域绕坐标轴（或平行于坐标轴的直线）旋转的体积。

固定套路
  1. 切片方向 ⊥ 旋转轴 → 圆盘/垫圈法：V=π∫(R2−r2) d(轴坐标)V=\pi\int(R^2-r^2)\,d(\text{轴坐标})，需要把边界表示成轴坐标的函数
  2. 切片方向 ∥ 旋转轴 → 柱壳法：V=2π∫(半径)(高) dxV=2\pi\int(\text{半径})(\text{高})\,dx，不用反解函数
  3. 看被积表达式哪个好积：绕 x 轴且 y=f(x) 好写 → 圆盘；绕 y 轴且 y=f(x) 好写（不想解出 x） → 柱壳
  4. 绕非坐标轴直线（如 x=1）时，半径改为“到该直线的距离”，其余照搬

易错点　① 垫圈法写成 π∫(R−r)2dx\pi\int(R-r)^2dx（正确是 π∫(R2−r2)dx\pi\int(R^2-r^2)dx）；② 柱壳半径写错：绕 x=1x=1 旋转时半径是 ∣1−x∣|1-x| 不是 xx；③ 两种方法积分变量不同，上下限跟着变量走。

经验　垂直轴切片出圆盘，平行轴切片出柱壳；少反解、被积函数简单者优先。

讲义 P23
旋转体体积实验室
xyx₀bf(x₀)圆盘：dV = π·f²(x₀)dx
上限 b = 2.50（阴影范围）
微元位置 x₀ = 1.60，f(x₀) = 1.265
曲线：y=xy=\sqrt{x}，区间 $[0, b]$
Vx=π∫0b[f(x)]2 dxV_x=\pi\int_0^{b}[f(x)]^2\,dx≈ 9.8175
当前微元 dV = π·f²(x₀)·dx ≈ 5.0265·dx

同一条红色微元条：绕 xx 轴转成薄圆盘，绕 yy 轴转成薄柱壳——选哪种方法，取决于沿哪个方向切片好算。

旋转体体积实验室：切换曲线与圆盘法/柱壳法，拖动上限 b 与微元位置 x₀，看微元如何转出圆盘或柱壳

三. 函数的平均值#

讲义 P24
定义 DEFINITION10.1

函数的平均值

设 x∈[a,b]x\in[a,b]，函数 y(x)y(x) 在 [a,b][a,b] 上的平均值为 yˉ=1b−a∫aby(x) dx⇒yˉ=y(ξ), ξ∈[a,b]\bar{y}=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b y(x)\,dx\Rightarrow\bar{y}=y(\xi),\ \xi\in[a,b]（由积分中值定理可得）。

四. 曲线的弧长（仅数一、数二）#

讲义 P24
表 TABLE10.3弧长公式（仅数一、数二）共 3 式
(1)
s=∫ab1+[f′(x)]2 dxs=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx
直角坐标P24
(2)
s=∫αβ[x′(t)]2+[y′(t)]2 dts=\int_\alpha^\beta\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt
参数方程P24
(3)
s=∫αβ[r(θ)]2+[r′(θ)]2 dθs=\int_\alpha^\beta\sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}\,d\theta
极坐标P24
(1)曲线由直角坐标方程 y=f(x) (x∈[a,b])y=f(x)\ (x\in[a,b]) 给出，且 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上具有连续导数
(2)曲线由参数方程 {x=x(t)y=y(t)\begin{cases}x=x(t)\\ y=y(t)\end{cases} 给出，x(t),y(t)x(t),y(t) 在 [α,β][\alpha,\beta] 上具有连续导数
(3)曲线由极坐标方程 r=r(θ) (θ∈[α,β])r=r(\theta)\ (\theta\in[\alpha,\beta]) 给出，且 r(θ)r(\theta) 在 [α,β][\alpha,\beta] 上具有连续导数

五. 旋转体的侧面积（仅数一、数二）#

讲义 P24
表 TABLE10.4旋转曲面面积公式（绕 $x$ 轴旋转一周，仅数一、数二）共 3 式
(1)
S=2π∫ab∣f(x)∣1+[f′(x)]2 dxS=2\pi\int_a^b|f(x)|\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx
① 直角坐标P24
(2)
S=2π∫αβ∣y(t)∣[x′(t)]2+[y′(t)]2 dtS=2\pi\int_\alpha^\beta|y(t)|\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt
② 参数方程P24
(3)
S=2π∫αβ∣r(θ)sin⁡θ∣[r(θ)]2+[r′(θ)]2 dθS=2\pi\int_\alpha^\beta|r(\theta)\sin\theta|\sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}\,d\theta
③ 极坐标P25
(1)曲线 L:y=f(x) (a≤x≤b)L:y=f(x)\ (a\leq x\leq b) 绕 xx 轴旋转一周所得旋转曲面的面积
(2)曲线 L:{x=x(t),y=y(t) (α≤t≤β, x′(t)≠0)L:\begin{cases}x=x(t),\\ y=y(t)\end{cases}\ (\alpha\leq t\leq\beta,\ x'(t)\neq0) 绕 xx 轴旋转一周所得旋转曲面的面积
(3)曲线 L:r=r(θ) (α≤θ≤β)L:r=r(\theta)\ (\alpha\leq\theta\leq\beta) 绕 xx 轴旋转一周所得旋转曲面的面积

六. 平行截面面积可求的立体体积（仅数一、数二）#

若立体在点 xx 处垂直于 xx 轴的截面面积可表示为函数 S(x) (a≤x≤b)S(x)\ (a\leq x\leq b)，则立体的体积为

V=∫abS(x) dx.V=\int_a^b S(x)\,dx.

➋（二）相关例题#

讲义 P26
例题 EXAMPLE10.1

1. 由 xy+1=0、y+x=0 与 y=2 围成的有界区域的面积

设 DD 是由曲线 xy+1=0xy+1=0 与直线 y+x=0y+x=0 及 y=2y=2 围成的有界区域，则 DD 的面积为______。
讲义 P26
例题 EXAMPLE10.2

2. 极坐标曲线 r=cos3θ 所围图形的面积

设封闭曲线 LL 的极坐标方程为 r=cos⁡3θ (−π6≤θ≤π6)r=\cos3\theta\ \left(-\dfrac{\pi}{6}\leq\theta\leq\dfrac{\pi}{6}\right)，则 LL 所围平面图形的面积是______。
讲义 P26
例题 EXAMPLE10.3

3. 由 V₁=V₂ 反求参数 A

设 A>0A>0，DD 是由曲线段 y=Asin⁡x (0≤x≤π2)y=A\sin x\ \left(0\leq x\leq\dfrac{\pi}{2}\right) 及直线 y=0y=0，x=π2x=\dfrac{\pi}{2} 所围成的平面区域，V1V_1，V2V_2 分别表示 DD 绕 xx 轴与 yy 轴旋转所成旋转体的体积。若 V1=V2V_1=V_2，求 AA 的值。
讲义 P26
例题 EXAMPLE10.4

4. y=eˣ 过原点的切线围成的无限区域：面积 + 绕 x=1 的体积

过坐标原点作曲线 y=exy=e^x 的切线，该切线与曲线 y=exy=e^x 以及 xx 轴围成的向 xx 轴负向无限伸展的平面图形记为 DD。求：(1) DD 的面积 AA；(2) DD 绕直线 x=1x=1 旋转一周所成的旋转体的体积 VV。
讲义 P26
例题 EXAMPLE10.5

5. 函数在区间上的平均值

函数 y=x21−x2y=\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} 在区间 [12,32]\left[\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}{2}\right] 上的平均值为______。
讲义 P27
例题 EXAMPLE10.6

6. 变上限函数给出的曲线的弧长

曲线 y=∫0xtan⁡t dt (0≤x≤π4)y=\displaystyle\int_0^x\tan t\,dt\ \left(0\leq x\leq\dfrac{\pi}{4}\right) 的弧长 s=s=______。
讲义 P27
例题 EXAMPLE10.7

7. 阿基米德螺线的弧长

阿基米德螺线 r=θr=\theta 上相应于 θ\theta 从 00 到 2π2\pi 一段的弧长为______。
讲义 P27
例题 EXAMPLE10.8

8. y=√(x−1) 绕 x 轴的旋转曲面面积

曲线 y=x−1 (1≤x≤2)y=\sqrt{x-1}\ (1\leq x\leq2) 绕 xx 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积为______。
讲义 P27
例题 EXAMPLE10.9

9. 星形线绕 x 轴的旋转曲面面积

已知星形线的方程为 {x=2cos⁡3t,y=2sin⁡3t,\begin{cases}x=2\cos^3t,\\ y=2\sin^3t,\end{cases} 则它绕 xx 轴旋转一周而成的旋转体的表面积为______。
—— 本讲完 ——