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高等数学（下）· 讲义第 28–41 页
11

多元函数微分学

89
内容块
21
例题
1
公式表
2
互动图解

与原稿逐页对照（卡片右上角页码签）· 课堂笔记与随堂例题见右栏

➊（一）基础知识#

一. 多元函数微分学的基本概念与性质：1. 多元函数与极限；2. 连续；3. 偏导数；4. 全微分。

一. 多元函数微分学的基本概念与性质#

1.1 多元函数与极限#

讲义 P28
定义 DEFINITION11.1

二元函数

设 DD 是平面上的一个点集，若对每个点 P(x,y)∈DP(x,y)\in D，变量 zz 按照某一对应法则 ff 有一个确定的值与之对应，则称 zz 为 x,yx,y 的二元函数，记为 z=f(x,y)z=f(x,y)。

其中 DD 称为函数的定义域，x,yx,y 称为自变量，zz 称为因变量，函数值 f(x,y)f(x,y) 的全体的集合称为函数的值域，记为 f(D)f(D)。通常情况下，二元函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 在几何上表示一张空间曲面。

讲义 P28
定义 DEFINITION11.2

二元函数的极限

设函数 f(x,y)f(x,y) 在区域 DD 上有定义，点 P0(x0,y0)∈DP_0(x_0,y_0)\in D 或为 DD 的边界点，如果 ∀ε>0\forall\varepsilon>0，存在 δ>0\delta>0，当 P(x,y)∈DP(x,y)\in D，且 0<∣PP0∣=(x−x0)2+(y−y0)2<δ0<|PP_0|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta 时，都有
∣f(x,y)−A∣<ε|f(x,y)-A|<\varepsilon
成立，则称常数 AA 为函数 f(x,y)f(x,y) 当 (x,y)→(x0,y0)(x,y)\to(x_0,y_0) 时的极限，记为
lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=A或lim⁡x→x0y→y0f(x,y)=A或lim⁡P→P0f(P)=A.\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A\quad\text{或}\quad\lim_{\substack{x\to x_0\\ y\to y_0}}f(x,y)=A\quad\text{或}\quad\lim_{P\to P_0}f(P)=A.
讲义 P28
注 NOTE
（1）这里的极限是要求点 (x,y)(x,y) 在 DD 内以任意方式趋近于点 (x0,y0)(x_0,y_0) 时，函数 f(x,y)f(x,y) 都趋近于同一确定的常数 AA，否则该极限就不存在。 （2）一元函数极限中的下述性质对多元函数仍成立：唯一性，局部有界性，局部保号性，有理运算，极限与无穷小的关系，夹逼性准则。
讲义 P28
解题范式 PATTERN

范式：二元函数极限——否定用路径，肯定用夹逼

识别特征　求 lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)，多为分子分母齐次程度相近的分式。

固定套路
  1. 先沿 y=kxy=kx 代入试探：化简结果若仍含 kk，说明极限值随路径而变
  2. 含 kk → 极限不存在，举两条路径（如 y=0y=0 与 y=xy=x）给出不同值即可
  3. 不含 kk 也不能直接下结论，用 ∣xy∣≤x2+y22|xy|\le\dfrac{x^2+y^2}{2} 等不等式放缩，配夹逼准则证明
  4. 含 ex2+y2e^{x^2+y^2}、1−(x2+y2)3\sqrt[3]{1-(x^2+y^2)} 等结构时，先换元 r=x2+y2→0+r=x^2+y^2\to0^+，化为一元极限

易错点　沿一切直线路径极限相同仍不能保证极限存在（可能沿抛物线 y=x2y=x^2 不同）；反之，否定极限只需两条路径值不同。换元 r=x2+y2r=x^2+y^2 只在该二元表达式真是 rr 的一元函数时合法。

经验　否定用路径（两条就够），肯定用夹逼（放缩到 ρ→0\rho\to0）。

讲义 P28
二元函数极限的路径判别（(x,y) → (0,0)，路径 y = kx）
xy(0,0)y = 1.00x
沿 y = kx 代入：kx2x2+k2x2=k1+k2\dfrac{kx^2}{x^2+k^2x^2}=\dfrac{k}{1+k^2}
k = 1.00 时路径极限 = 0.500（随 k 改变）
极限不存在
路径斜率 k = 1.00（k = 0 即沿 x 轴）

极限值随 k 变化：沿不同直线趋于不同值，故极限不存在。 否定极限只需两条路径给出不同值；肯定极限不能只验有限条路径，必须放缩加夹逼。

拖动路径斜率 kk：看 xyx2+y2\dfrac{xy}{x^2+y^2}、xy2x2+y2\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}、x∣y∣x2+y2\dfrac{x|y|}{x^2+y^2} 沿 y=kxy=kx 的极限值如何变化

1.2 连续#

讲义 P28
定义 DEFINITION11.3

连续的概念

设函数 f(x,y)f(x,y) 在区域 DD 上有定义，点 P0(x0,y0)∈DP_0(x_0,y_0)\in D，如果
lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0)\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)
成立，则称函数 f(x,y)f(x,y) 在点 P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0) 连续；如果 f(x,y)f(x,y) 在区域 DD 上的每个点 (x,y)(x,y) 处都连续，则称函数 f(x,y)f(x,y) 在区域 DD 上连续。
讲义 P29
注 NOTE
连续函数的性质： 性质1 多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数。 性质2 多元连续函数的复合函数也是连续函数。 性质3 多元初等函数在其定义区域内连续。 性质4（最值定理）有界闭区域 DD 上的连续函数在区域 DD 上必能取得最大值与最小值。 性质5（介值定理）有界闭区域 DD 上的连续函数在区域 DD 上必能取得介于最大值与最小值之间的任何值。

1.3 偏导数#

讲义 P29
定义 DEFINITION11.4

偏导数的定义

设 z=f(x,y)z=f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 的某一邻域内有定义，如果
lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δx\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}
存在，则称这个极限值为函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 处对 xx 的偏导数，记为 ∂z∂x∣(x0,y0)\left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}，∂f∂x∣(x0,y0)\left.\dfrac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}，zx′(x0,y0)z_x'(x_0,y_0) 或 fx′(x0,y0)f_x'(x_0,y_0)。 类似地，可以定义 z=f(x,y)z=f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 处对 yy 的偏导数，记为 ∂z∂y∣(x0,y0)\left.\dfrac{\partial z}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}，∂f∂y∣(x0,y0)\left.\dfrac{\partial f}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}，zy′(x0,y0)z_y'(x_0,y_0) 或 fy′(x0,y0)f_y'(x_0,y_0)：
lim⁡Δy→0f(x0,y0+Δy)−f(x0,y0)Δy.\lim_{\Delta y\to0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}.
讲义 P29
注 NOTE
（1）如果 z=f(x,y)z=f(x,y) 在区域 DD 上的每一点 (x,y)(x,y) 都存在偏导数，称 z=f(x,y)z=f(x,y) 在 DD 上存在着偏导函数，也简称 DD 上的偏导数，记为 ∂z∂x\dfrac{\partial z}{\partial x}，∂f∂x\dfrac{\partial f}{\partial x}，zx′z_x' 或 fx′(x,y)f_x'(x,y)；∂z∂y\dfrac{\partial z}{\partial y}，∂f∂y\dfrac{\partial f}{\partial y}，zy′z_y' 或 fy′(x,y)f_y'(x,y)。 （2）类似地，可以定义 n (n≥3)n\ (n\geq3) 元函数的偏导数。

2. 偏导数的几何意义：设有二元函数 z=f(x,y)z=f(x,y)，且 z0=f(x0,y0)z_0=f(x_0,y_0)，则 fx′(x0,y0)f_x'(x_0,y_0) 在几何上表示曲线 {z=f(x,y),y=y0\begin{cases}z=f(x,y),\\ y=y_0\end{cases} 在点 (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) 处的切线对 xx 轴的斜率。同理，fy′(x0,y0)f_y'(x_0,y_0) 在几何上表示曲线 {z=f(x,y),x=x0\begin{cases}z=f(x,y),\\ x=x_0\end{cases} 在点 (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) 处的切线对 yy 轴的斜率。

讲义 P29
偏导数的几何意义：曲面切片（z = 2 − (x²+y²)/4）
xz斜率 -0.40
切片曲线：{z=f(x,y)y=y0 ⇒ z=(2−y024)−x24\begin{cases}z=f(x,y)\\ y=y_0\end{cases}\ \Rightarrow\ z=\left(2-\dfrac{y_0^2}{4}\right)-\dfrac{x^2}{4}
偏导数：∂z∂x=−x2\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{x}{2}
切点 x₀ = 0.80，切片 y₀ = 0.60， 切点高度 z₀ = 1.75
切点 x₀ = 0.80
切片位置 y₀ = 0.60

把另一个变量钉住，曲面就退化成一条平面曲线；fx′(x0,y0)f_x'(x_0,y_0) 与 fy′(x0,y0)f_y'(x_0,y_0) 分别是两条切片曲线在切点处的切线斜率。注意切片位置只改变曲线高低，斜率只由切点横坐标决定。

切换切片方向、拖动切点：曲面退化为平面曲线，偏导数就是切片曲线的切线斜率

3. 高阶偏导数

讲义 P30
定义 DEFINITION11.5
如果二元函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 的偏导数 fx′(x,y)f_x'(x,y) 和 fy′(x,y)f_y'(x,y) 仍然具有偏导数，则它们的偏导数称为 z=f(x,y)z=f(x,y) 的二阶偏导数，记作
讲义 P30
表 TABLE11.1二阶偏导数的四种记号（按讲义印刷顺序）共 4 式
(1)
∂2z∂x2=∂∂x(∂z∂x)=fxx′′(x,y)=zxx′′\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right)=f_{xx}''(x,y)=z_{xx}''
P30
(2)
∂2z∂y2=∂∂y(∂z∂y)=fyy′′(x,y)=zyy′′\dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2}=\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial z}{\partial y}\right)=f_{yy}''(x,y)=z_{yy}''
P30
(3)
∂2z∂x∂y=∂∂x(∂z∂y)=fxy′′(x,y)=zxy′′\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial z}{\partial y}\right)=f_{xy}''(x,y)=z_{xy}''
P30
(4)
∂2z∂y∂x=∂∂y(∂z∂x)=fyx′′(x,y)=zyx′′\dfrac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right)=f_{yx}''(x,y)=z_{yx}''
P30

其中，称 ∂2z∂x∂y\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} 与 ∂2z∂y∂x\dfrac{\partial^2 z}{\partial y\partial x} 为二阶混合偏导数。类似地，可以定义 n (n≥3)n\ (n\geq3) 阶偏导数。

讲义 P30
定理 THEOREM11.1

二阶混合偏导数与求导次序无关的条件

定理 如果函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 的两个二阶混合偏导数 ∂2z∂x∂y\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} 及 ∂2z∂y∂x\dfrac{\partial^2 z}{\partial y\partial x} 都在区域 DD 内连续，则在区域 DD 内 ∂2z∂x∂y=∂2z∂y∂x\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}，即二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。

1.4 全微分#

讲义 P30
定义 DEFINITION11.6

全微分的定义

如果函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 处的全增量
Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)
可表示为
Δz=AΔx+BΔy+o(ρ),\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho),
其中 A,BA,B 与 Δx,Δy\Delta x,\Delta y 无关，ρ=(Δx)2+(Δy)2\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}，则称函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 处可微，而称 AΔx+BΔyA\Delta x+B\Delta y 为函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 处的全微分，记为
dz=AΔx+BΔy=Adx+Bdy.dz=A\Delta x+B\Delta y=Adx+Bdy.

如果 f(x,y)f(x,y) 在区域 DD 内的每一点 (x,y)(x,y) 都可微，则称 f(x,y)f(x,y) 在 DD 内可微。

讲义 P31
定理 THEOREM11.2

全微分存在的必要条件

如果函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 在点 (x,y)(x,y) 处可微，则该函数在点 (x,y)(x,y) 处的偏导数 ∂z∂x\dfrac{\partial z}{\partial x}，∂z∂y\dfrac{\partial z}{\partial y} 必定存在，且
dz=∂z∂xdx+∂z∂ydy.dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy.
讲义 P31
注 NOTE
用定义判定 f(x,y)f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 处的可微性步骤： （1）fx′(x0,y0)f_x'(x_0,y_0) 与 fy′(x0,y0)f_y'(x_0,y_0) 是否都存在？ （2）lim⁡Δx→0,Δy→0[f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)]−[fx′(x0,y0)Δx+fy′(x0,y0)Δy](Δx)2+(Δy)2\lim\limits_{\Delta x\to0,\Delta y\to0}\dfrac{[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]-[f_x'(x_0,y_0)\Delta x+f_y'(x_0,y_0)\Delta y]}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} 是否为零？
讲义 P31
定理 THEOREM11.3

全微分存在的充分条件

如果 z=f(x,y)z=f(x,y) 的偏导数 ∂z∂x\dfrac{\partial z}{\partial x}，∂z∂y\dfrac{\partial z}{\partial y} 在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 处连续，则函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 处可微。
讲义 P31
注 NOTE
（1）判别函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 处的偏导数是否连续： ① 用定义法求 fx′(x0,y0)f_x'(x_0,y_0)，fy′(x0,y0)f_y'(x_0,y_0)； ② 用公式法求 fx′(x,y)f_x'(x,y)，fy′(x,y)f_y'(x,y)； ③ 计算 lim⁡x→x0fx′(x,y)\lim\limits_{x\to x_0}f_x'(x,y)，lim⁡y→y0fy′(x,y)\lim\limits_{y\to y_0}f_y'(x,y)。 看 lim⁡x→x0fx′(x,y)=fx′(x0,y0)\lim\limits_{x\to x_0}f_x'(x,y)=f_x'(x_0,y_0)，lim⁡y→y0fy′(x,y)=fy′(x0,y0)\lim\limits_{y\to y_0}f_y'(x,y)=f_y'(x_0,y_0) 是否成立。若成立，则 z=f(x,y)z=f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 处的偏导数是连续的。
讲义 P31
注 NOTE
（2）连续、可偏导及可微之间的关系（讲义原图为对比框图，转录如下）： 一元函数：可导 ⇔\Leftrightarrow 可微；可微（可导）⇒\Rightarrow 连续；连续 ⇏\nRightarrow 可导。 多元函数：可微 ⇒\Rightarrow 连续，可微 ⇒\Rightarrow 可导（偏导），均不可逆；连续与可导（偏导）互不蕴含；一阶偏导数连续 ⇒\Rightarrow 可微，亦不可逆。

二. 多元函数微分学的计算#

大纲：1. 复合函数链式求导法则；2. 全微分形式不变性；3. 隐函数存在定理（公式法）。

2.1 复合函数链式求导法则#

讲义 P31
定理 THEOREM11.4

链式求导法则

定理 设函数 u=u(x,y)u=u(x,y)，v=v(x,y)v=v(x,y) 在点 (x,y)(x,y) 处有对 xx 及对 yy 的偏导数，函数 z=f(u,v)z=f(u,v) 在对应点 (u,v)(u,v) 处有连续偏导数，则复合函数 z=f[u(x,y),v(x,y)]z=f[u(x,y),v(x,y)] 在点 (x,y)(x,y) 处的两个偏导数存在，且有
∂z∂x=∂z∂u∂u∂x+∂z∂v∂v∂x,∂z∂y=∂z∂u∂u∂y+∂z∂v∂v∂y.\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}.
讲义 P32
注 NOTE
多元复合函数的链式求导法则适用于以上定理的类似情形。例如：设 z=f(u,v)z=f(u,v)，u=u(t)u=u(t)，v=v(t)v=v(t)，则 dzdt=∂z∂ududt+∂z∂vdvdt\dfrac{dz}{dt}=\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{du}{dt}+\dfrac{\partial z}{\partial v}\dfrac{dv}{dt}。
讲义 P32
解题范式 PATTERN

范式：链式法则求偏导操作规范

识别特征　z=f(u,v)z=f(u,v)，而 u,vu,v 又是 x,yx,y（或 tt）的函数；抽象复合如 f(xy,yx)f(x^y,y^x)、f(x+y,x−y)f(x+y,x-y)。

固定套路
  1. 画变量关系图：z→u,v→x,yz\to u,v\to x,y，理清谁是中间变量、谁是自变量
  2. 对某自变量求偏导：每一条从 zz 通往该自变量的路径贡献一项
  3. 项 = 沿路径各段导（偏导）数的乘积，全部路径的项相加
  4. 抽象函数用 f1′,f2′f_1',f_2' 记对第一、二个中间变量的偏导；求二阶偏导时 f1′,f2′f_1',f_2' 仍是以 u,vu,v 为中间变量的复合函数，必须再乘链式因子

易错点　① 二阶求导时把 f1′,f2′f_1',f_2' 当成只是 u,vu,v 的函数而漏乘 ∂u∂x\dfrac{\partial u}{\partial x} 等因子；② 幂指型中间变量（如 xyx^y）忘用指数求导法则 ∂∂xxy=yxy−1\dfrac{\partial}{\partial x}x^y=yx^{y-1}、∂∂xyx=yxln⁡y\dfrac{\partial}{\partial x}y^x=y^x\ln y；③ 路径漏数，项数少于关系图分支数。

经验　一线一项，项项相乘，路路相加；f1′,f2′f_1',f_2' 的复合结构与 ff 相同。

2.2 全微分的形式不变性#

讲义 P32
定义 DEFINITION11.7
设函数 z=f(u,v)z=f(u,v)，u=u(x,y)u=u(x,y) 及 v=v(x,y)v=v(x,y) 都有连续的一阶偏导数，则复合函数 z=f[u(x,y),v(x,y)]z=f[u(x,y),v(x,y)] 的全微分，
dz=∂z∂xdx+∂z∂ydy=∂z∂udu+∂z∂vdv,dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv,
即：不论把函数 zz 看做自变量 x,yx,y 的函数，还是看作中间变量 u,vu,v 的函数，zz 的全微分形式都是一样的。

2.3 隐函数存在定理#

讲义 P32
定理 THEOREM11.5

1. 由方程 F(x,y)=0F(x,y)=0 确定的隐函数 y=y(x)y=y(x)

定理 若函数 F(x,y)F(x,y) 在点 P(x0,y0)P(x_0,y_0) 的某一邻域内有连续偏导数，且 F(x0,y0)=0F(x_0,y_0)=0，Fy′(x0,y0)≠0F_y'(x_0,y_0)\neq0，则方程 F(x,y)=0F(x,y)=0 在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 的某邻域可唯一确定一个有连续导数的函数 y=f(x)y=f(x)，并有
y′=−Fx′Fy′.y'=-\frac{F_x'}{F_y'}.
讲义 P32
定理 THEOREM11.6

2. 由方程 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 确定的隐函数 z=z(x,y)z=z(x,y)

定理 若函数 F(x,y,z)F(x,y,z) 在点 P(x0,y0,z0)P(x_0,y_0,z_0) 的某一邻域内有连续偏导数，且 F(x0,y0,z0)=0F(x_0,y_0,z_0)=0，Fz′(x0,y0,z0)≠0F_z'(x_0,y_0,z_0)\neq0，则方程 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 在点 (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) 的某邻域可唯一确定一个有连续偏导数的函数 z=f(x,y)z=f(x,y)，并有
∂z∂x=−Fx′Fz′,∂z∂y=−Fy′Fz′.\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x'}{F_z'},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y'}{F_z'}.

3. 由方程组

{F1(x,y,u,v)=0,F2(x,y,u,v)=0\begin{cases}F_1(x,y,u,v)=0,\\ F_2(x,y,u,v)=0\end{cases}
确定的隐函数 u=u(x,y)u=u(x,y)，v=v(x,y)v=v(x,y)（仅数一要求）。欲求 ∂u∂x,∂u∂y,∂v∂x,∂v∂y\dfrac{\partial u}{\partial x},\dfrac{\partial u}{\partial y},\dfrac{\partial v}{\partial x},\dfrac{\partial v}{\partial y}，可以将每个方程分别对 xx 求偏导数，得出以 ∂u∂x,∂v∂x\dfrac{\partial u}{\partial x},\dfrac{\partial v}{\partial x} 为变量的方程组，可解得 ∂u∂x,∂v∂x\dfrac{\partial u}{\partial x},\dfrac{\partial v}{\partial x}。同样，可以将每个方程分别对 yy 求偏导数，得出以 ∂u∂y,∂v∂y\dfrac{\partial u}{\partial y},\dfrac{\partial v}{\partial y} 为变量的方程组，可解得 ∂u∂y,∂v∂y\dfrac{\partial u}{\partial y},\dfrac{\partial v}{\partial y}。

讲义 P32
解题范式 PATTERN

范式：隐函数求导——公式法 vs 直接法

识别特征　方程 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 确定 z=z(x,y)z=z(x,y) 求偏导/全微分；或方程组确定隐函数（仅数一）。

固定套路
  1. 公式法：把方程写成 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0，算 Fx′,Fy′,Fz′F_x',F_y',F_z'（注意此时 x,y,zx,y,z 都是独立自变量，zz 当常数看），则 ∂z∂x=−Fx′Fz′\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F_x'}{F_z'}
  2. 直接法：方程两边对 xx 求偏导，把 zz 视为 x,yx,y 的函数逐项链式求导，再解出 ∂z∂x\dfrac{\partial z}{\partial x}
  3. 求全微分优先用一阶全微分形式不变性：方程两边取微分，一次解出 dzdz，两个偏导同时到手
  4. 方程组情形（仅数一）：每个方程分别对 xx（或 yy）求偏导，解以各偏导数为未知量的线性方程组

易错点　① 公式法算 Fx′F_x' 时误把 zz 当 xx 的函数多算一项——两种方法里 zz 的身份正好相反；② 忘验 Fz′≠0F_z'\neq0 的前提；③ 求某点处的值时，先用原方程定出该点的 zz 再代入。

经验　一个方程用公式法最快；求全微分、含抽象函数或方程组时用直接法/微分法。

三. 多元函数的极值与最值#

大纲：1. 极值与最值的概念；2. 无条件极值；3. 条件极值与拉格朗日乘子法；4. 有界闭区域上连续函数的最值问题。

3.1 极值与最值的概念#

讲义 P33
定义 DEFINITION11.8
设函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 在点 P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0) 的某邻域内有定义，若对该邻域内任意的点 P(x,y)P(x,y) 均有 f(x,y)≤f(x0,y0)f(x,y)\leq f(x_0,y_0)（或 f(x,y)≥f(x0,y0)f(x,y)\geq f(x_0,y_0)），则称 (x0,y0)(x_0,y_0) 为 f(x,y)f(x,y) 的极大值点（或极小值点）；称 f(x0,y0)f(x_0,y_0) 为 f(x,y)f(x,y) 的极大值（或极小值）；极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。 若对函数定义域内任意的点 P(x,y)P(x,y) 均有 f(x,y)≤f(x0,y0)f(x,y)\leq f(x_0,y_0)（或 f(x,y)≥f(x0,y0)f(x,y)\geq f(x_0,y_0)），则称 (x0,y0)(x_0,y_0) 为 f(x,y)f(x,y) 的最大值点（或最小值点）。

3.2 无条件极值#

讲义 P33
定理 THEOREM11.7

极值的必要条件

设 z=f(x,y)z=f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 存在偏导数，且 (x0,y0)(x_0,y_0) 为 f(x,y)f(x,y) 的极值点，则
fx′(x0,y0)=0,fy′(x0,y0)=0.f_x'(x_0,y_0)=0,\qquad f_y'(x_0,y_0)=0.
讲义 P33
定理 THEOREM11.8

极值的充分条件

设 z=f(x,y)z=f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 的某邻域内有二阶连续偏导数，fx′(x0,y0)=0f_x'(x_0,y_0)=0，fy′(x0,y0)=0f_y'(x_0,y_0)=0。记
A=fxx′′(x0,y0),B=fxy′′(x0,y0),C=fyy′′(x0,y0),A=f_{xx}''(x_0,y_0),\qquad B=f_{xy}''(x_0,y_0),\qquad C=f_{yy}''(x_0,y_0),
则有下述结论： （1）若 AC−B2>0AC-B^2>0，则 (x0,y0)(x_0,y_0) 是 f(x,y)f(x,y) 的极值点。① A<0A<0，则 (x0,y0)(x_0,y_0) 为 f(x,y)f(x,y) 的极大值点；② A>0A>0，则 (x0,y0)(x_0,y_0) 为 f(x,y)f(x,y) 的极小值点。 （2）若 AC−B2<0AC-B^2<0，则 (x0,y0)(x_0,y_0) 不是 f(x,y)f(x,y) 的极值点。 （3）若 AC−B2=0AC-B^2=0，则 (x0,y0)(x_0,y_0) 可能是 f(x,y)f(x,y) 的极值点，也可能不是 f(x,y)f(x,y) 的极值点（此时，一般用定义判定）。
讲义 P34
注 NOTE
求具有二阶连续偏导数的二元函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 极值的一般步骤为： （1）求出 f(x,y)f(x,y) 的驻点 P1,⋯ ,PkP_1,\cdots,P_k。 （2）利用极值的充分条件判定驻点 PiP_i 是否为极值点。
讲义 P34
注 NOTE
（1）二元函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 在偏导数不存在的点也可能取到极值（如 f(x,y)=x2+y2f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}），而这种点是否取得极值一般用极值定义判定。 （2）二元函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 可能取得极值的点包含两种，驻点和偏导数不存在的点。
讲义 P33
解题范式 PATTERN

范式：无条件极值 → 条件极值 → 闭区域最值固定流程

识别特征　求二元函数的极值、带约束 φ=0\varphi=0 的条件极值、有界闭区域上的最大最小值。

固定套路
  1. 无条件极值：解 fx′=0, fy′=0f_x'=0,\ f_y'=0 得驻点 → 算 A=fxx′′, B=fxy′′, C=fyy′′A=f_{xx}'',\ B=f_{xy}'',\ C=f_{yy}'' → 看 AC−B2AC-B^2：>0>0 取极值（A>0A>0 极小、A<0A<0 极大），<0<0 非极值，=0=0 用定义
  2. 补充检查偏导数不存在的点，用极值定义单独判定
  3. 条件极值：构造拉格朗日函数 F=f+λφF=f+\lambda\varphi（多约束再加 μψ\mu\psi），对所有变量和乘子求偏导并令其为 0，解方程组得可疑点
  4. 闭区域最值：内部可疑点（驻点 + 偏导不存在点）＋ 边界可疑点（拉格朗日乘数法或代入消元化一元）→ 比较全部可疑点的函数值，大者最大、小者最小

易错点　① AC−B2=0AC-B^2=0 时判别法失效，不能下结论；② 解拉格朗日方程组时丢解（两式相减后要分 x=yx=y 与 λ\lambda 取特殊值两类讨论）；③ 闭区域边界要整段讨论，不能只看端点；④ 实际问题驻点唯一且最值存在时，驻点即最值点。

经验　驻点 → 判别式 → 边界 → 比大小，一步不能省。

3.3 条件极值与拉格朗日乘子法#

1. 函数 f(x,y)f(x,y) 在约束条件 φ(x,y)=0\varphi(x,y)=0 下的可能极值点： （1）构造拉格朗日函数 F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)。 （2）将 F(x,y,λ)F(x,y,\lambda) 分别对 x,y,λx,y,\lambda 求偏导数，构造方程组

{fx′(x,y)+λφx′(x,y)=0,fy′(x,y)+λφy′(x,y)=0,φ(x,y)=0.\begin{cases}f_x'(x,y)+\lambda\varphi_x'(x,y)=0,\\ f_y'(x,y)+\lambda\varphi_y'(x,y)=0,\\ \varphi(x,y)=0.\end{cases}
解出 x,yx,y 及 λ\lambda，则其中 (x,y)(x,y) 就是函数 f(x,y)f(x,y) 在条件 φ(x,y)=0\varphi(x,y)=0 下的可能极值点。

2. 推广到对于 nn 元函数在 mm 个约束条件下的极值问题，如求 u=f(x,y,z)u=f(x,y,z) 在条件 φ(x,y,z)=0\varphi(x,y,z)=0，ψ(x,y,z)=0\psi(x,y,z)=0 下的极值，可构造拉格朗日函数

F(x,y,z,λ,μ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)+μψ(x,y,z).F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda\varphi(x,y,z)+\mu\psi(x,y,z).
对 FF 的 x,y,z,λ,μx,y,z,\lambda,\mu 分别求偏导数，并构造方程组
{fx′(x,y,z)+λφx′(x,y,z)+μψx′(x,y,z)=0,fy′(x,y,z)+λφy′(x,y,z)+μψy′(x,y,z)=0,fz′(x,y,z)+λφz′(x,y,z)+μψz′(x,y,z)=0,φ(x,y,z)=0,ψ(x,y,z)=0.\begin{cases}f_x'(x,y,z)+\lambda\varphi_x'(x,y,z)+\mu\psi_x'(x,y,z)=0,\\ f_y'(x,y,z)+\lambda\varphi_y'(x,y,z)+\mu\psi_y'(x,y,z)=0,\\ f_z'(x,y,z)+\lambda\varphi_z'(x,y,z)+\mu\psi_z'(x,y,z)=0,\\ \varphi(x,y,z)=0,\\ \psi(x,y,z)=0.\end{cases}
解出 x,y,z,λ,μx,y,z,\lambda,\mu，则其中 (x,y,z)(x,y,z) 就是可能的极值点。

讲义 P34
注 NOTE
（1）对于实际问题，如果驻点唯一，且由实际意义知道问题存在最大（小）值，则该驻点即为最大（小）值点。 （2）如果有多个驻点，且由实际意义知道问题既存在最大值也存在最小值，只需比较各驻点的函数值，求出最大（小）值。

3.4 有界闭区域上连续函数的最值问题#

1. 理论依据：定理 在有界闭区域 DD 上的多元连续函数，在区域 DD 上一定有最大值和最小值。

2. 求法： ① 根据 fx′(x,y)f_x'(x,y)，fy′(x,y)f_y'(x,y) 为 0 或不存在，求出区域 DD 内部的所有极值可疑点； ② 用拉格朗日乘数法或代入法求出区域 DD 边界上的所有最值可疑点； ③ 比较以上所有可疑点的函数值大小，取其最小者为最小值，最大者为最大值。

➋（二）相关例题#

一. 二元函数的极限与连续性问题#

讲义 P36
例题 EXAMPLE11.1

1. 求极限 lim⁡x→0y→0xy2x2+y2\lim\limits_{\substack{x\to0\\ y\to0}}\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}

求 lim⁡(x,y)→(0,0)xy2x2+y2\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}。
讲义 P36
例题 EXAMPLE11.2

2. 设 I1=lim⁡x→0y→0∣xy∣x2+y2I_1=\lim\limits_{\substack{x\to0\\ y\to0}}\dfrac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}}，I2=lim⁡x→0y→0x∣y∣x2+y2I_2=\lim\limits_{\substack{x\to0\\ y\to0}}\dfrac{x|y|}{x^2+y^2}，则（ ）

（A）I1I_1 存在，I2I_2 不存在　（B）I1I_1 存在，I2I_2 存在　（C）I1I_1 不存在，I2I_2 存在　（D）I1I_1 不存在，I2I_2 不存在
讲义 P36
例题 EXAMPLE11.3

3. 设 f(x,y)={1−(x2+y2)3−1ex2+y2−1,x2+y2≠0,a,x2+y2=0f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt[3]{1-(x^2+y^2)}-1}{e^{x^2+y^2}-1},&x^2+y^2\neq0,\\ a,&x^2+y^2=0\end{cases} 为连续函数，则 a=a= __

确定 aa 使 ff 在 (0,0)(0,0) 处连续。

二. 多元函数连续、偏导数、全微分的概念及其之间的关系#

讲义 P36
例题 EXAMPLE11.4

1. 已知函数 f(x,y)=ln⁡(y+∣xsin⁡y∣)f(x,y)=\ln(y+|x\sin y|)，则（ ）

（A）∂f∂x∣(0,1)\left.\dfrac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,1)} 不存在，∂f∂y∣(0,1)\left.\dfrac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,1)} 存在　（B）∂f∂x∣(0,1)\left.\dfrac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,1)} 存在，∂f∂y∣(0,1)\left.\dfrac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,1)} 不存在 （C）∂f∂x∣(0,1)\left.\dfrac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,1)}，∂f∂y∣(0,1)\left.\dfrac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,1)} 均存在　（D）∂f∂x∣(0,1)\left.\dfrac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,1)}，∂f∂y∣(0,1)\left.\dfrac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,1)} 均不存在
讲义 P37
例题 EXAMPLE11.5

2. 设连续函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 满足 lim⁡x→0y→1f(x,y)−2x+y−2x2+(y−1)2=0\lim\limits_{\substack{x\to0\\ y\to1}}\dfrac{f(x,y)-2x+y-2}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}=0，则 dz∣(0,1)=\left.dz\right|_{(0,1)}= __

由极限条件读出全微分。
讲义 P37
例题 EXAMPLE11.6

3. 证明以下几个经典的反例

（1）f(x,y)=∣x∣+∣y∣f(x,y)=|x|+|y| 在 (0,0)(0,0) 点连续，但不可导（也不可微）。 （2）f(x,y)={xyx2+y2,(x,y)≠(0,0),0,(x,y)=(0,0)f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy}{x^2+y^2},&(x,y)\neq(0,0),\\ 0,&(x,y)=(0,0)\end{cases} 在 (0,0)(0,0) 点可导，但不连续。 （3）f(x,y)={xyx2+y2,(x,y)≠(0,0),0,(x,y)=(0,0)f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}},&(x,y)\neq(0,0),\\ 0,&(x,y)=(0,0)\end{cases} 在 (0,0)(0,0) 点可导，但不可微。 （4）f(x,y)={(x2+y2)sin⁡1x2+y2,(x,y)≠(0,0),0,(x,y)=(0,0)f(x,y)=\begin{cases}(x^2+y^2)\sin\dfrac{1}{x^2+y^2},&(x,y)\neq(0,0),\\ 0,&(x,y)=(0,0)\end{cases} 在 (0,0)(0,0) 点可微，但偏导数不连续。
讲义 P37
例题 EXAMPLE11.7

4. 设 f(x,y)f(x,y) 具有一阶偏导数，且对任意的 (x,y)(x,y) 都有 ∂f(x,y)∂x>0\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}>0，∂f(x,y)∂y<0\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}<0，则（ ）

（A）f(0,0)>f(1,1)f(0,0)>f(1,1)　（B）f(0,0)<f(1,1)f(0,0)<f(1,1)　（C）f(0,1)>f(1,0)f(0,1)>f(1,0)　（D）f(0,1)<f(1,0)f(0,1)<f(1,0)

三. 多元函数偏导数和全微分的计算#

讲义 P38
例题 EXAMPLE11.8

1. 设函数 F(x,y)=∫0xysin⁡t1+t2 dtF(x,y)=\displaystyle\int_0^{xy}\dfrac{\sin t}{1+t^2}\,dt，则 ∂2F∂x2∣x=0, y=2=\left.\dfrac{\partial^2 F}{\partial x^2}\right|_{x=0,\,y=2}= __

变上限积分（上限含 x,yx,y）求二阶偏导。
讲义 P38
例题 EXAMPLE11.9

2. 设 z=(1+xy)xyz=\left(1+\dfrac{x}{y}\right)^{\frac{x}{y}}，则 dz∣(1,1)=\left.dz\right|_{(1,1)}= __

幂指型二元函数求全微分。
讲义 P38
例题 EXAMPLE11.10

3. 设 f(u,v)f(u,v) 为二元可微函数，z=f(xy,yx)z=f(x^y,y^x)，则 ∂z∂x=\dfrac{\partial z}{\partial x}= __

抽象复合函数求偏导。
讲义 P38
例题 EXAMPLE11.11

4. 设函数 f(u,v)f(u,v) 具有二阶连续偏导数，函数 g(x,y)=xy−f(x+y,x−y)g(x,y)=xy-f(x+y,x-y)，求 ∂2g∂x2+∂2g∂x∂y+∂2g∂y2\dfrac{\partial^2 g}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 g}{\partial x\partial y}+\dfrac{\partial^2 g}{\partial y^2}

抽象复合函数的二阶偏导组合。

四. 隐函数偏导数和全微分的计算#

讲义 P38
例题 EXAMPLE11.12

1. 若函数 z=z(x,y)z=z(x,y) 由方程 ex+2y+3z+xyz=1e^{x+2y+3z}+xyz=1 确定，则 dz∣(0,0)=\left.dz\right|_{(0,0)}= __

隐函数求点处全微分。
讲义 P39
例题 EXAMPLE11.13

2. 设函数 z=z(x,y)z=z(x,y) 由方程 F(x+zy−1, y+zx−1)=0F\left(x+zy^{-1},\,y+zx^{-1}\right)=0 所确定，其中 FF 具有连续偏导数，且 xF1′+yF2′≠0xF_1'+yF_2'\neq0，则 x∂z∂x+y∂z∂y=x\dfrac{\partial z}{\partial x}+y\dfrac{\partial z}{\partial y}= __

抽象隐函数求偏导的线性组合。
讲义 P39
例题 EXAMPLE11.14

3. 设 y=y(x)y=y(x)，z=z(x)z=z(x) 是由方程 z=xf(x+y)z=xf(x+y) 和 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 所确定的函数，其中 ff 和 FF 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 dzdx\dfrac{dz}{dx}

两个方程、两个一元隐函数，求全导数。
讲义 P39
例题 EXAMPLE11.15

4. 设函数 z=z(x,y)z=z(x,y) 由方程 z+ex−yln⁡(1+z2)=0z+e^x-y\ln(1+z^2)=0 确定，求 (∂2z∂x2+∂2z∂y2)∣(0,0)\left.\left(\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2}\right)\right|_{(0,0)}

隐函数求二阶偏导之和在点处的值。

五. 求多元函数极值#

讲义 P40
例题 EXAMPLE11.16

1. 设函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 的全微分为 dz=x dx+y dydz=x\,dx+y\,dy，则点 (0,0)(0,0)（ ）

（A）不是 f(x,y)f(x,y) 的连续点　（B）不是 f(x,y)f(x,y) 的极值点　（C）是 f(x,y)f(x,y) 的极大值点　（D）是 f(x,y)f(x,y) 的极小值点
讲义 P40
例题 EXAMPLE11.17

2. 二元函数 f(x,y)f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 处取得极值是一元函数 f(x,y0)f(x,y_0) 和 f(x0,y)f(x_0,y) 分别在 x0x_0 和 y0y_0 处取得极值的（ ）

（A）充分条件　（B）必要条件　（C）充要条件　（D）既非充分也非必要条件
讲义 P40
例题 EXAMPLE11.18

3. 二元函数 z=xy(3−x−y)z=xy(3-x-y) 的极值点是（ ）

（A）(0,0)(0,0)　（B）(0,3)(0,3)　（C）(3,0)(3,0)　（D）(1,1)(1,1)
讲义 P40
例题 EXAMPLE11.19

4. 求二元函数 f(x,y)=x2(2+y2)+yln⁡yf(x,y)=x^2(2+y^2)+y\ln y 的极值

定义域 y>0y>0，求极值。

六. 求最大最小值#

讲义 P41
例题 EXAMPLE11.20

1. 求函数 u=x2+y2+z2u=x^2+y^2+z^2 在约束条件 z=x2+y2z=x^2+y^2 和 x+y+z=4x+y+z=4 下的最大值和最小值

两个约束的条件极值，用拉格朗日乘数法。
讲义 P41
例题 EXAMPLE11.21

2. 已知函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 的全微分 dz=2x dx−2y dydz=2x\,dx-2y\,dy，并且 f(1,1)=2f(1,1)=2，求 f(x,y)f(x,y) 在椭圆域 D={(x,y) | x2+y24≤1}D=\left\{(x,y)\,\middle|\,x^2+\dfrac{y^2}{4}\leq1\right\} 上的最大值和最小值

先还原 ff，再按「内部 + 边界」两步求闭区域最值。
—— 本讲完 ——