高数下册 · 交互讲义
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高等数学（下）· 讲义第 42–49 页
12

二重积分

51
内容块
14
例题
3
公式表
2
互动图解

与原稿逐页对照（卡片右上角页码签）· 课堂笔记与随堂例题见右栏

➊（一）基础知识#

一. 二重积分的概念与性质：1. 二重积分的定义；2. 二重积分的几何意义；3. 二重积分的性质；4. 二重积分的对称性。

一. 二重积分的概念与性质#

1.1 二重积分的定义#

讲义 P42
定义 DEFINITION12.1

二重积分

定义 设函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 在有界闭区域 DD 上有定义，将区域 DD 任意分成 nn 个小闭区域，其中 Δσi\Delta\sigma_i 表示第 ii 个小区域，也表示它的面积。在每个 Δσi\Delta\sigma_i 上任取一点 (ξi,ηi)(\xi_i,\eta_i)，作乘积 f(ξi,ηi)Δσif(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i，并求和 ∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i。记 λ\lambda 为 nn 个小区域 Δσ1,Δσ2,⋯ ,Δσn\Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,\cdots,\Delta\sigma_n 中的最大直径，如果
lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i
存在，则称此极限值为函数 f(x,y)f(x,y) 在区域 DD 上的二重积分，记为
∬Df(x,y) dσ=lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi.\iint_D f(x,y)\,d\sigma=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i.

1.2 二重积分的几何意义#

二重积分 ∬Df(x,y) dσ\iint\limits_D f(x,y)\,d\sigma 是一个数。当 f(x,y)≥0f(x,y)\geq0 时，其值等于以区域 DD 为底，以曲面 z=f(x,y)z=f(x,y) 为曲顶柱体的体积；当 f(x,y)<0f(x,y)<0 时，二重积分的值为负值，其绝对值等于上述曲顶柱体的体积。

讲义 P42
注 NOTE
注：∬D1 dσ=∬Ddσ=A\iint\limits_D 1\,d\sigma=\iint\limits_D d\sigma=A，其中 AA 为 DD 的面积。

1.3 二重积分的性质#

讲义 P42
表 TABLE12.1二重积分的性质 1–5共 5 式
(1)
∬D[k1f(x,y)±k2g(x,y)]dσ=k1∬Df(x,y) dσ±k2∬Dg(x,y) dσ\iint_D\left[k_1f(x,y)\pm k_2g(x,y)\right]d\sigma=k_1\iint_D f(x,y)\,d\sigma\pm k_2\iint_D g(x,y)\,d\sigma
性质1（积分的线性性质），k₁,k₂ 为常数P42
(2)
∬Df(x,y) dσ=∬D1f(x,y) dσ+∬D2f(x,y) dσ\iint_D f(x,y)\,d\sigma=\iint_{D_1} f(x,y)\,d\sigma+\iint_{D_2} f(x,y)\,d\sigma
性质2（积分的可加性），D₁∪D₂=D, D₁∩D₂=∅P42
(3)
∬Df(x,y) dσ≤∬Dg(x,y) dσ\iint_D f(x,y)\,d\sigma\leq\iint_D g(x,y)\,d\sigma
性质3（积分的保号性），在 D 上 f(x,y)≤g(x,y)P43
(4)
mA≤∬Df(x,y) dσ≤MAmA\leq\iint_D f(x,y)\,d\sigma\leq MA
性质4（二重积分的估值定理）P43
(5)
∬Df(x,y) dσ=f(ξ,η) A\iint_D f(x,y)\,d\sigma=f(\xi,\eta)\,A
性质5（二重积分的中值定理）P43
(2)设 f(x,y)f(x,y) 在有界闭区域 DD 上可积
(3)特殊地，有 ∣∬Df(x,y) dσ∣≤∬D∣f(x,y)∣ dσ\left|\iint\limits_D f(x,y)\,d\sigma\right|\leq\iint\limits_D|f(x,y)|\,d\sigma
(4)M,mM,m 分别是 f(x,y)f(x,y) 在有界闭区域 DD 上的最大值和最小值，AA 为 DD 的面积
(5)设函数 f(x,y)f(x,y) 在有界闭区域 DD 上连续，AA 为 DD 的面积，则在 DD 上至少存在一点 (ξ,η)(\xi,\eta)

1.4 二重积分的对称性#

讲义 P43
表 TABLE12.2对称性 1–4（普通对称性：奇零偶倍）共 4 式
(1)
∬Df(x,y) dσ={2∬D1f(x,y) dσ,f(x,y)=f(x,−y)0,f(x,y)=−f(x,−y)\iint_D f(x,y)\,d\sigma=\begin{cases}2\iint_{D_1} f(x,y)\,d\sigma,&f(x,y)=f(x,-y)\\[2pt]0,&f(x,y)=-f(x,-y)\end{cases}
1. D 关于 x 轴对称P43
(2)
∬Df(x,y) dσ={2∬D1f(x,y) dσ,f(x,y)=f(−x,y)0,f(x,y)=−f(−x,y)\iint_D f(x,y)\,d\sigma=\begin{cases}2\iint_{D_1} f(x,y)\,d\sigma,&f(x,y)=f(-x,y)\\[2pt]0,&f(x,y)=-f(-x,y)\end{cases}
2. D 关于 y 轴对称P43
(3)
∬Df(x,y) dσ={2∬D1f(x,y) dσ,f(x,y)=f(−x,−y)0,f(x,y)=−f(−x,−y)\iint_D f(x,y)\,d\sigma=\begin{cases}2\iint_{D_1} f(x,y)\,d\sigma,&f(x,y)=f(-x,-y)\\[2pt]0,&f(x,y)=-f(-x,-y)\end{cases}
3. D 关于原点对称P43
(4)
∬Df(x,y) dσ={2∬D1f(x,y) dσ,f(x,y)=f(y,x)0,f(x,y)=−f(y,x)\iint_D f(x,y)\,d\sigma=\begin{cases}2\iint_{D_1} f(x,y)\,d\sigma,&f(x,y)=f(y,x)\\[2pt]0,&f(x,y)=-f(y,x)\end{cases}
4. D 关于 y=x 对称P44
(1)其中 D1D_1 是 DD 在 xx 轴上侧的部分
(2)其中 D1D_1 是 DD 在 yy 轴右侧的部分
(3)其中 D1D_1 是 DD 关于原点对称的半个部分
(4)其中 D1D_1 是 DD 关于 y=xy=x 对称的半个部分

5.（轮换对称性）在直角坐标系下，若把 xx 与 yy 对调后，区域 DD 不变（或区域 DD 关于 y=xy=x 对称），则

∬Df(x,y) dσ=∬Df(y,x) dσ\iint_D f(x,y)\,d\sigma=\iint_D f(y,x)\,d\sigma
利用轮换对称性计算积分，一般常用方法：
∬Df(x,y) dσ=12∬D[f(x,y)+f(y,x)]dσ.\iint_D f(x,y)\,d\sigma=\frac12\iint_D\left[f(x,y)+f(y,x)\right]d\sigma.

讲义 P44
注 NOTE
注：普通对称性中的 4 与轮换对称性 5 的区别，虽然它们都是 DD 关于 y=xy=x 对称，但普通对称性考查的是 f(x,y)f(x,y) 与 f(y,x)f(y,x) 是否相等还是相反，轮换对称性考查的是 f(x,y)+f(y,x)f(x,y)+f(y,x) 是否简单。
讲义 P44
解题范式 PATTERN

范式：对称性 / 奇偶性简化二重积分

识别特征　积分区域 DD 关于 xx 轴、yy 轴、原点或直线 y=xy=x 对称。

固定套路
  1. 先看 DD 的对称性，再把被积函数按奇偶拆开（ff = 偶部 + 奇部）
  2. 对某变量为奇、且 DD 关于对应轴对称 → 该项积分为 00；为偶 → 化为 22 倍半区域积分
  3. DD 关于 y=xy=x 对称且 f(x,y)+f(y,x)f(x,y)+f(y,x) 简单 → 用轮换对称性 ∬f=12∬[f(x,y)+f(y,x)]\iint f=\frac12\iint[f(x,y)+f(y,x)]
  4. 化简后再选坐标系计算剩余部分

易错点　① 区域对称但被积函数没有相应奇偶性时硬凑；② D1D_1 取错——“半个部分”必须按对称轴（或原点）切开；③ 普通对称性 4（考查 ff 与其镜像相等/相反）与轮换对称性 5（考查 f(x,y)+f(y,x)f(x,y)+f(y,x) 是否简单）混用。

经验　先对称后计算：奇零偶倍；关于 y=x 对称，用轮换。

二. 二重积分的计算#

大纲：1. 利用直角坐标系计算；2. 利用极坐标系计算；3. 换元法。

2.1 直角坐标系下的计算#

讲义 P44
表 TABLE12.3直角坐标系下的两种积分次序共 2 式
(1)
∬Df(x,y) dσ=∫abdx∫φ1(x)φ2(x)f(x,y) dy\iint_D f(x,y)\,d\sigma=\int_a^b dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,dy
(1) 先 y 后 x，积分区域 D 为 X 型P44
(2)
∬Df(x,y) dσ=∫cddy∫φ1(y)φ2(y)f(x,y) dx\iint_D f(x,y)\,d\sigma=\int_c^d dy\int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)} f(x,y)\,dx
(2) 先 x 后 y，积分区域 D 为 Y 型P44
(1)DD 可以用 a≤x≤b, φ1(x)≤y≤φ2(x)a\leq x\leq b,\ \varphi_1(x)\leq y\leq\varphi_2(x) 表示
(2)DD 可以用 c≤y≤d, φ1(y)≤x≤φ2(y)c\leq y\leq d,\ \varphi_1(y)\leq x\leq\varphi_2(y) 表示
讲义 P44
注 NOTE
注：利用直角坐标计算的二重积分时应根据具体情况选择合适的积分次序。
讲义 P44
解题范式 PATTERN

范式：直角坐标 X 型 / Y 型定限套路

识别特征　积分区域由上下两条曲线 y=φ1(x),y=φ2(x)y=\varphi_1(x),y=\varphi_2(x)（或左右两条曲线 x=φ1(y),x=φ2(y)x=\varphi_1(y),x=\varphi_2(y)）夹出。

固定套路
  1. 画出区域 D 的草图，求出边界曲线的全部交点
  2. 选型：竖直条带从下往上不穿帮 → X 型（先 yy 后 xx）；水平条带从左往右不穿帮 → Y 型（先 xx 后 yy）
  3. 外层写常数限（DD 在坐标轴上的投影区间），内层写曲线限（下 → 上，或左 → 右）
  4. 条带移动过程中边界表达式发生改变 → 分段，写成几个累次积分之和

易错点　① 外层限必须是常数，内层限可含外层变量——次序写反是最常见错误；② 投影区间忘求交点直接瞎猜；③ 边界换表达式时没分段；④ 内层上限小于下限却没发现。

经验　先画域，后定限；外层常数，内层曲线；穿帮就分段。

讲义 P44
X 型 / Y 型定限图解器（区域：y=x²，y=2−x，x=0）
xyy=x²y=2−x
∫01dx∫x22−xf(x,y) dy\int_0^1 dx\int_{x^2}^{2-x} f(x,y)\,dy
x = 0.50：y 从 0.25 积到 1.50
x = 0.50

外层限永远是常数（投影区间），内层限是曲线。Y 型下右边界在 y=1y=1 处换表达式，所以必须分两段——这就是“穿帮就分段”。

X 型 / Y 型一键切换：拖动积分条带，看区域 y=x2y=x^2 与 y=2−xy=2-x 在两种次序下如何定限

2.2 极坐标系下的计算#

讲义 P45
定义 DEFINITION12.2
先 rr 后 θ\theta，积分区域 DD 可以用 α≤θ≤β, φ1(θ)≤r≤φ2(θ)\alpha\leq\theta\leq\beta,\ \varphi_1(\theta)\leq r\leq\varphi_2(\theta) 表示，
∬Df(x,y) dσ=∫αβdθ∫φ1(θ)φ2(θ)f(rcos⁡θ,rsin⁡θ) r dr.\iint_D f(x,y)\,d\sigma=\int_\alpha^\beta d\theta\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr.
讲义 P45
注 NOTE
注：适合用极坐标计算的二重积分的特征： (1) 适合用极坐标计算的被积函数，例如 f(x2+y2)f(x^2+y^2)，f(yx)f\left(\dfrac yx\right)，f(xy)f\left(\dfrac xy\right)； (2) 适合用极坐标的积分域，例如 x2+y2≤R2x^2+y^2\leq R^2；r2≤x2+y2≤R2r^2\leq x^2+y^2\leq R^2；x2+y2≤2axx^2+y^2\leq 2ax；x2+y2≤2byx^2+y^2\leq 2by。
讲义 P45
解题范式 PATTERN

范式：极坐标变换的识别信号

识别特征　积分域是圆、圆环、扇形（含偏心圆 x2+y2≤2axx^2+y^2\leq2ax、x2+y2≤2byx^2+y^2\leq2by），或被积函数含 x2+y2x^2+y^2、yx\dfrac yx、xy\dfrac xy。

固定套路
  1. 令 x=rcos⁡θ, y=rsin⁡θx=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta 代入被积函数，面积元素 dσ=r dr dθd\sigma=r\,dr\,d\theta（rr 不能丢）
  2. 把边界曲线改写成极坐标方程：x2+y2=R2→r=Rx^2+y^2=R^2\to r=R；x2+y2=2ax→r=2acos⁡θx^2+y^2=2ax\to r=2a\cos\theta；x2+y2=2by→r=2bsin⁡θx^2+y^2=2by\to r=2b\sin\theta
  3. 定外层 θ\theta 的范围，再定内层 rr 的限（从极点出发的射线穿入、穿出边界）
  4. 先对 r 积分，再对 θ 积分

易错点　① 漏乘 Jacobian rr；② 偏心圆 x2+y2≤2axx^2+y^2\leq2ax 的 θ\theta 范围是 [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]（不是 [0,π][0,\pi]），x2+y2≤2byx^2+y^2\leq2by 是 [0,π][0,\pi]；③ 边界忘化成 r=φ(θ)r=\varphi(\theta) 导致内层限写错。

经验　见圆域、见 x²+y² 就上极坐标；dσ 永远带一个 r。

讲义 P45
极坐标定限图解器（偏心圆 r = 2cosθ）
xyθ(1,0)Or=2cosθ
∫−π2π2dθ∫02cos⁡θf(rcos⁡θ,rsin⁡θ) r dr\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\theta\int_0^{2\cos\theta} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr
当前 θ = 0.40 rad，径向条带 r：0 → 1.84
边界化极坐标：x2+y2=2x⇒r=2cos⁡θx^2+y^2=2x\Rightarrow r=2\cos\theta
θ 从 −π/2 扫到 π/2（阴影为已扫过部分）

两个易错点：① 面积元素 dσ=r dr dθd\sigma=r\,dr\,d\theta，rr 不能丢；② 偏心圆 x2+y2≤2axx^2+y^2\leq2ax 的 θ\theta 范围是 [−π/2,π/2][-\pi/2,\pi/2]，不是 [0,π][0,\pi]。

偏心圆 r=2cos⁡θr=2\cos\theta 的极坐标定限：拖动 θ\theta，看径向条带 0→2cos⁡θ0\to2\cos\theta 与面积元素中的 rr

2.3 换元法#

讲义 P45
定义 DEFINITION12.3
令 {x=x(u,v),y=y(u,v)\begin{cases}x=x(u,v),\\ y=y(u,v)\end{cases} 是 (x,y)(x,y) 面到 (u,v)(u,v) 面的一对一映射，x=x(u,v)x=x(u,v)，y=y(u,v)y=y(u,v) 存在一阶连续偏导数，则
∬Dxyf(x,y) dxdy=∬Duvf[x(u,v),y(u,v)]∣∂(x,y)∂(u,v)∣dudv.\iint_{D_{xy}} f(x,y)\,dxdy=\iint_{D_{uv}} f[x(u,v),y(u,v)]\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|dudv.

注意“三换”： a. f(x,y)→f[x(u,v),y(u,v)]f(x,y)\to f[x(u,v),y(u,v)]； b. ∬Dxy→∬Duv\iint_{D_{xy}}\to\iint_{D_{uv}}； c. dxdy→∣∂(x,y)∂(u,v)∣dudvdxdy\to\left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|dudv，注意 ∂(x,y)∂(u,v)=∣∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v∣≠0\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u}&\dfrac{\partial x}{\partial v}\\[4pt]\dfrac{\partial y}{\partial u}&\dfrac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}\neq0，带入后要加绝对值。

➋（二）相关例题#

一. 二重积分的性质#

讲义 P46
例题 EXAMPLE12.1

1. 设平面闭区域 Di (i=1,2,3,4)D_i\ (i=1,2,3,4) 分别是由 L1:x2+y2=1L_1:x^2+y^2=1，L2:x2+y2=2L_2:x^2+y^2=2，L3:x2+2y2=2L_3:x^2+2y^2=2，L4:2x2+y2=2L_4:2x^2+y^2=2 围成的平面区域，记 Ii=∬Di(1−x2−12y2)dxdyI_i=\iint_{D_i}\left(1-x^2-\dfrac12y^2\right)dxdy，则 max⁡{I1,I2,I3,I4}=()\max\{I_1,I_2,I_3,I_4\}=(\quad)

(A) I1I_1　　(B) I2I_2　　(C) I3I_3　　(D) I4I_4
讲义 P46
例题 EXAMPLE12.2

2. 设 Ji=∬Dix−y3 dxdy (i=1,2,3)J_i=\iint_{D_i}\sqrt[3]{x-y}\,dxdy\ (i=1,2,3)，其中 D1={(x,y)∣0≤x≤1,0≤y≤1}D_1=\{(x,y)|0\leq x\leq1,0\leq y\leq1\}，D2={(x,y)∣0≤x≤1,0≤y≤x}D_2=\{(x,y)|0\leq x\leq1,0\leq y\leq\sqrt{x}\}，D3={(x,y)∣0≤x≤1,x2≤y≤1}D_3=\{(x,y)|0\leq x\leq1,x^2\leq y\leq1\}，则（　）

(A) J1<J2<J3J_1<J_2<J_3　　(B) J3<J1<J2J_3<J_1<J_2　　(C) J2<J3<J1J_2<J_3<J_1　　(D) J2<J1<J3J_2<J_1<J_3
讲义 P46
例题 EXAMPLE12.3

例 3

3. 设 D(t)={(x,y)∣2x2+3y2≤6t} (t≥0)D(t)=\{(x,y)|2x^2+3y^2\leq6t\}\ (t\geq0)，f(x,y)={1−(x2+y2)3−1ex2+y2−1,(x,y)≠(0,0),a,(x,y)=(0,0)f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt[3]{1-(x^2+y^2)}-1}{e^{x^2+y^2}-1},&(x,y)\neq(0,0),\\[4pt]a,&(x,y)=(0,0)\end{cases} 为连续函数，令 F(t)=∬D(t)f(x,y) dxdyF(t)=\iint_{D(t)}f(x,y)\,dxdy，则 F+′(0)=F_+'(0)=____

二. 二重积分的计算#

二重积分计算的思路与要点总结： 1）首先观察积分区域是否具有对称性，尽可能用对称性化简被积函数及积分区域。 2）选择合适的坐标系： • 直角坐标系 → 考虑选择合适的积分次序，必要时对区域分块（如特殊符号函数 ∣⋅∣|\cdot|，max⁡\max，min⁡\min 等）； • 极坐标系 → 适用于极坐标系的积分区域与被积函数。

同时注意坐标系之间的相互转化。3）确定积分限并计算。

讲义 P47
解题范式 PATTERN

范式：何时换序与换序操作流程

识别特征　内层积分“积不出”（被积函数含 sin⁡xx\dfrac{\sin x}{x}、tan⁡xx\dfrac{\tan x}{x}、ex2e^{x^2}、1ln⁡x\dfrac{1}{\ln x} 等无初等原函数的因子），或题目直接要求交换积分次序。

固定套路
  1. 由累次积分的四层限读出区域 D 的不等式描述
  2. 画出 D 的草图（求边界交点）
  3. 改用另一型重新定限（边界换表达式则分段）
  4. 在新次序下计算；若原内层上限小于下限，先处理好符号再换序

易错点　① 区域还原错误——尤其边界曲线交点没算对；② 换序后边界分两段却写成一段；③ 隐含“上限 < 下限”的负号（如 ∫xy\int_x^{\sqrt{y}} 当 y≤x2y\leq x^2 时）被忽略。

经验　积不出，就换序；换序先画域，还原区域是全部关键。

讲义 P47
例题 EXAMPLE12.4

例 1

1. 交换累次积分 ∫01dx∫x22−xf(x,y) dy\int_0^1 dx\int_{x^2}^{2-x} f(x,y)\,dy 的次序
讲义 P47
例题 EXAMPLE12.5

2. 设函数 f(x,y)f(x,y) 连续，则 ∫12dx∫x2f(x,y) dy+∫12dy∫y4−yf(x,y) dx=()\int_1^2 dx\int_x^2 f(x,y)\,dy+\int_1^2 dy\int_y^{4-y} f(x,y)\,dx=(\quad)

(A) ∫12dx∫14−xf(x,y) dy\int_1^2 dx\int_1^{4-x} f(x,y)\,dy　　(B) ∫12dx∫x4−xf(x,y) dy\int_1^2 dx\int_x^{4-x} f(x,y)\,dy (C) ∫12dy∫14−yf(x,y) dx\int_1^2 dy\int_1^{4-y} f(x,y)\,dx　　(D) ∫12dy∫y2f(x,y) dx\int_1^2 dy\int_y^2 f(x,y)\,dx
讲义 P47
例题 EXAMPLE12.6

3. 累次积分 ∫0π2dθ∫0cos⁡θf(rcos⁡θ,rsin⁡θ) r dr\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta\int_0^{\cos\theta} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr 可以写成（　）

(A) ∫01dy∫0y−y2f(x,y) dx\int_0^1 dy\int_0^{\sqrt{y-y^2}} f(x,y)\,dx　　(B) ∫01dy∫01−y2f(x,y) dx\int_0^1 dy\int_0^{\sqrt{1-y^2}} f(x,y)\,dx (C) ∫01dx∫01f(x,y) dy\int_0^1 dx\int_0^1 f(x,y)\,dy　　(D) ∫01dx∫0x−x2f(x,y) dy\int_0^1 dx\int_0^{\sqrt{x-x^2}} f(x,y)\,dy
讲义 P47
例题 EXAMPLE12.7

例 4

4. 积分 ∫01dy∫y1tan⁡xx dx=\int_0^1 dy\int_y^1\frac{\tan x}{x}\,dx=____
讲义 P47
例题 EXAMPLE12.8

例 5

5. 当 x→0+x\to0^+ 时，f(x)=∫0x2dy∫xysin⁡yt dtf(x)=\int_0^{x^2}dy\int_x^{\sqrt{y}}\sin\dfrac{y}{t}\,dt 与 g(x)=axbg(x)=ax^b 是等价无穷小量，则 ab=ab=____
讲义 P48
注 NOTE
注：∫sin⁡xxdx,∫cos⁡xxdx,∫ln⁡(1+x)xdx,∫1ln⁡xdx,∫sin⁡x2dx,∫cos⁡x2dx,∫sin⁡1xdx,∫cos⁡1xdx,∫tan⁡xxdx,∫exxdx,∫tan⁡x2dx,∫eax2+bx+cdx (a≠0)\int\dfrac{\sin x}{x}dx,\int\dfrac{\cos x}{x}dx,\int\dfrac{\ln(1+x)}{x}dx,\int\dfrac{1}{\ln x}dx,\int\sin x^2dx,\int\cos x^2dx,\int\sin\dfrac1xdx,\int\cos\dfrac1xdx,\int\dfrac{\tan x}{x}dx,\int\dfrac{e^x}{x}dx,\int\tan x^2dx,\int e^{ax^2+bx+c}dx\ (a\neq0) 均没有初等函数形式的原函数。见到它们，一般都要交换积分次序。
讲义 P48
例题 EXAMPLE12.9

例 6

6. 已知平面域 D={(x,y) ∣ x2+y2≤2y}D=\{(x,y)\ |\ x^2+y^2\leq2y\}，计算二重积分 I=∬D(x+1)2 dxdyI=\iint_D(x+1)^2\,dxdy
讲义 P48
例题 EXAMPLE12.10

例 7

7. 计算二重积分 ∬D∣x2+y2−1∣dσ\iint_D\left|x^2+y^2-1\right|d\sigma，其中 D={(x,y) ∣ 0≤x≤1,0≤y≤1}D=\{(x,y)\ |\ 0\leq x\leq1,0\leq y\leq1\}
讲义 P48
例题 EXAMPLE12.11

例 8

8. 设平面域 D={(x,y) ∣ 1≤x2+y2≤4, x≥0, y≥0}D=\{(x,y)\ |\ 1\leq x^2+y^2\leq4,\ x\geq0,\ y\geq0\}，计算 ∬Dxsin⁡(πx2+y2)x+y dxdy\iint_D\frac{x\sin\left(\pi\sqrt{x^2+y^2}\right)}{x+y}\,dxdy
讲义 P48
例题 EXAMPLE12.12

例 9

9. 设区域 D={(x,y) ∣ x2+y2≤2}D=\{(x,y)\ |\ x^2+y^2\leq\sqrt{2}\}，则 ∬D(x2+y22)dxdy=\iint_D\left(x^2+\dfrac{y^2}{2}\right)dxdy=____
讲义 P48
例题 EXAMPLE12.13

例 10

10. 计算 ∫0+∞e−x2 dx\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\,dx
讲义 P49
例题 EXAMPLE12.14

例 11

11. 设平面区域 D={(x,y) ∣ 0≤x≤1−y, 0≤y≤1}D=\{(x,y)\ |\ 0\leq x\leq1-y,\ 0\leq y\leq1\}，计算二重积分 ∬Deyx+y dσ\iint_D e^{\frac{y}{x+y}}\,d\sigma
—— 本讲完 ——