高等数学（下）· 讲义第 50–58 页

微分方程

84: 内容块
22: 例题
5: 公式表
2: 互动图解

与原稿逐页对照（卡片右上角页码签）· 课堂笔记与随堂例题见右栏

➊（一）基础知识#

一. 微分方程的基本概念#

讲义 P50

定义 DEFINITION13.1

1. 微分方程

含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程，简称方程。

F(x,y,y',\dots,y^{(n)})=0;\quad\text{或}\quad y^{(n)}=f(x,y,y',\dots,y^{(n-1)}).

讲义 P50

定义 DEFINITION13.2

2. 微分方程的阶

微分方程中所出现的未知函数最高阶导数的阶数

n

，称为微分方程的阶。

讲义 P50

定义 DEFINITION13.3

3. 微分方程的解

满足微分方程的函数

y(x)

，称为该方程的解。

讲义 P50

定义 DEFINITION13.4

4. 微分方程的通解

如果微分方程的解中含有独立常数，常数的个数与微分方程的阶数相同，则称为微分方程的通解。

讲义 P50

定义 DEFINITION13.5

5. 微分方程的特解

微分方程的不含任意常数的解，称之为特解。

讲义 P50

定义 DEFINITION13.6

6. 初始条件

确定特解的一组常数称为初始条件。

讲义 P50

定义 DEFINITION13.7

7. 积分曲线

方程的一个解在平面上对应一条曲线，称为该微分方程的积分曲线。

二. 一阶微分方程#

大纲：1. 可分离变量的方程；2. 齐次微分方程；3. 一阶线性微分方程；4. 伯努利方程（仅数学一）；5. 全微分方程（仅数学一）。

2.1 可分离变量的方程#

讲义 P50

定义 DEFINITION13.8

能表示为

g(y)\,dy=f(x)\,dx

的方程，称为可分离变量的方程。求解的方法是两端积分

\int g(y)\,dy=\int f(x)\,dx

。

讲义 P50

方向场（斜率场）与积分曲线

当前方程：一阶线性方程（2.3）；初始点 (0.00, 1.00) —— 在图上按住拖动即可换初始点

每个小线段给出该点处解的斜率 $f(x,y)$ ，红色积分曲线处处与线段相切——这就是“解满足方程”的几何含义；拖动初始点可以看到：初始条件在无穷多条积分曲线中挑出一条特解。

方向场互动：选方程、拖初始点，看积分曲线如何被“斜率场”引导（对应 2.1–2.3 的几何直观）

讲义 P50

例题 EXAMPLE13.1

例：微分方程 $y'=\dfrac{y(1-x)}{x}$ 的通解

求

y'=\dfrac{y(1-x)}{x}

的通解。

2.2 齐次微分方程#

讲义 P51

定义 DEFINITION13.9

能化为

\dfrac{dy}{dx}=\varphi\left(\dfrac{y}{x}\right)

的微分方程称为齐次微分方程。求解齐次微分方程的一般方法：令

u=\dfrac{y}{x}

，则

y'=u+xu'

，从而将原方程化为

xu'=\varphi(u)-u

，此方程为可分离变量的方程。

讲义 P51

例题 EXAMPLE13.2

例： $x^2y'+xy=y^2$ 满足 $y(1)=1$ 的特解

求微分方程

x^2y'+xy=y^2

满足初始条件

y(1)=1

的特解。

2.3 一阶线性微分方程#

讲义 P51

定义 DEFINITION13.10

形如

y'+p(x)y=q(x)

的方程称为一阶线性微分方程。求解一阶线性微分方程的一般方法：常数变易法，或直接利用以下通解公式

y=e^{-\int p(x)\,dx}\left[\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx+C\right].

讲义 P51

证明 PROOF（点击折叠）

注(1) 推导通解公式（讲义留白，本推导为补全，即常数变易法）：先解齐次方程

y'+p(x)y=0

：分离变量得

\dfrac{dy}{y}=-p(x)\,dx

，

\ln|y|=-\int p(x)\,dx+C_1

，即

y=Ce^{-\int p(x)\,dx}

。再把常数

C

变易为函数

C(x)

，设

y=C(x)e^{-\int p(x)\,dx}

代入非齐次方程：

y'+p(x)y=C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}-C(x)p(x)e^{-\int p(x)\,dx}+p(x)C(x)e^{-\int p(x)\,dx}=C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x),

故

C'(x)=q(x)e^{\int p(x)\,dx}

，积分得

C(x)=\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}dx+C

，代回即得通解公式。

✨ 优化证明（对照版）

积分因子视角（更快）：方程两边同乘

\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}

，左端恰为

\left(\mu(x)y\right)'=\mu(x)q(x)

，直接积分得

\mu(x)y=\int\mu(x)q(x)\,dx+C

，两边除以

\mu(x)

即通解公式。记住“乘积分因子后左端必成乘积导数”，比背公式更稳。

讲义 P51

注 NOTE

(2) 在一阶线性微分方程的通解公式

y=e^{-\int p(x)dx}\left[\int e^{\int p(x)dx}\cdot q(x)\,dx+C\right]

中，若

\int p(x)\,dx=\ln|\varphi(x)|

，则

e^{\int p(x)dx}=|\varphi(x)|=\pm\varphi(x)

，

e^{-\int p(x)dx}=\pm\dfrac{1}{\varphi(x)}

，代入上述通解公式，有：

y=\pm\frac{1}{\varphi(x)}\left[\int\pm\varphi(x)\cdot q(x)\,dx+C\right]=\frac{1}{\varphi(x)}\left[\int\varphi(x)\cdot q(x)\,dx\pm C\right],

令

\pm C=D

，则

y=\dfrac{1}{\varphi(x)}\left[\int\varphi(x)\cdot q(x)\,dx+D\right]

，其中

D

依然为任意常数，故

e^{\int p(x)dx}=|\varphi(x)|

可不加绝对值。

讲义 P51

注 NOTE

(3) 由于

\int p(x)\,dx

与

\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx

均应理解为某一不含任意常数的原函数，故公式法亦可写成

y=e^{-\int_{x_0}^{x}p(t)\,dt}\left[\int_{x_0}^{x}q(t)e^{\int_{x_0}^{t}p(s)\,ds}\,dt+C\right],

这里的

x_0

在题设未提出定值要求时，可按方便解题的原则来取。

讲义 P51

例题 EXAMPLE13.3

例： $(y+x^2e^{-x})\,dx-x\,dy=0$ 的通解

微分方程

(y+x^2e^{-x})\,dx-x\,dy=0

的通解是______。

讲义 P52

例题 EXAMPLE13.4

例（选择题）：设 $y=\varphi(x)$ 是 $y'+ey=\left(1-\dfrac1x\right)^x$ 的一个解

设函数

y=\varphi(x)

是微分方程

y'+ey=\left(1-\dfrac1x\right)^x

的一个解，则

\lim\limits_{x\to+\infty}\varphi(x)=(\quad)

(A)

e

　(B)

e^2

　(C)

\dfrac1e

　(D)

\dfrac{1}{e^2}

2.4 伯努利方程（仅数学一）#

讲义 P52

定义 DEFINITION13.11

形如

\dfrac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^n\ (n\neq0,1)

的方程叫作伯努利方程，伯努利方程的解法： ① 先变形为

y^{-n}\cdot\dfrac{dy}{dx}+p(x)y^{1-n}=q(x)

； ② 令

u=y^{1-n}

，得

\dfrac{du}{dx}=(1-n)y^{-n}\dfrac{dy}{dx}

，则

\dfrac{1}{1-n}\dfrac{du}{dx}+p(x)u=q(x)

，解此一阶线性微分方程。

2.5 全微分方程（仅数学一）#

讲义 P52

定义 DEFINITION13.12

若函数

P(x,y)

，

Q(x,y)

在单连通区域

D

上具有一阶连续偏导数，且在

D

内满足

\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial P}{\partial y}

，则

P\,dx+Q\,dy

是某二元函数

u(x,y)

的全微分；若一阶微分方程写成

P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=0

的形式时，等式左端表达式是

u(x,y)

的全微分，称为全微分方程。

讲义 P52

注 NOTE

注：若给定的一阶微分方程以

x

为自变量，以

y

为未知函数不好求解，可以考虑将

x,y

的角色互换，以

y

为自变量，以

x

为未知函数求解，这是一种常用的方法。

讲义 P52

解题范式 PATTERN

范式：一阶方程类型判别决策树

识别特征　拿到一个一阶方程，先别急着算——按顺序问五个问题定类型。

固定套路

能写成 $g(y)dy=f(x)dx$ ？→ 可分离变量，两端积分
右端只含 $\frac{y}{x}$ 的组合？→ 齐次方程，令 $u=\frac{y}{x}$
是 $y'+p(x)y=q(x)$ ？→ 一阶线性，套通解公式（或乘积分因子）
是 $y'+p(x)y=q(x)y^n$ ？→ 伯努利（仅数一），令 $u=y^{1-n}$ 化线性
是 $Pdx+Qdy=0$ 且 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ ？→ 全微分（仅数一），找原函数 $u(x,y)=C$

易错点　① 齐次方程的“齐次”与线性方程的“齐次”是两回事，别混；② 判不出类型时想起 $x,y$ 角色互换的注（把 $x$ 当未知函数）；③ 伯努利、全微分仅数一考，数二数三见到可跳过。

经验　分离 → 齐次 → 线性 → 伯努利 → 全微分，五步筛法定类型，类型定了解法就定了。

讲义 P52

例题 EXAMPLE13.5

例： $y\,dx=(1+x\ln y)x\,dy$ 的通解

求微分方程

y\,dx=(1+x\ln y)x\,dy

的通解。

讲义 P52

例题 EXAMPLE13.6

例：求全微分方程中的 $f(x)$ 并求通解

求满足

f(0)=0

的具有一阶连续导数的

f(x)

，使

\left[yf'(x)+y^2\right]dx+(x^2+2xy)\,dy=0

为全微分方程，并求此全微分方程的通解。

三. 二阶可降阶的微分方程（仅数学一、数学二）#

讲义 P53

表 TABLE13.1三种可降阶类型共 3 式

(1)

y''=f(x,y')\ \text{型：令}\ y'=p,\ \text{则}\ y''=p',\ \text{方程化为}\ p'=f(x,p)

P53

(2)

y''=f(y')\ \text{型：令}\ y'=p,\ \text{则}\ y''=p',\ \text{方程化为}\ p'=f(p)

P53

(3)

y''=f(y,y')\ \text{型：令}\ y'=p,\ \text{则}\ y''=p\dfrac{dp}{dy},\ \text{方程化为}\ p\dfrac{dp}{dy}=f(y,p)

P53

讲义 P53

解题范式 PATTERN

范式：可降阶方程的换元选择（仅数一、数二）

识别特征　二阶方程里 $x$ 、 $y$ 、 $y'$ 三样缺一样，就能降成一阶。

固定套路

缺 $y$ （含 $x,y',y''$ ）：令 $y'=p$ ， $y''=p'$ ，化为 $p$ 关于 $x$ 的一阶方程
缺 $x$ （含 $y,y',y''$ ）：令 $y'=p$ ， $y''=p\frac{dp}{dy}$ ，化为 $p$ 关于 $y$ 的一阶方程
解出一阶方程得 $p$ ，再积一次回 $y$
有初始条件就边做边定常数，别攒到最后

易错点　① 缺 $x$ 型把 $y''$ 错写成 $p'$ （应为 $p\frac{dp}{dy}$ ），这是本类题第一大坑；② 先盯住左端是不是某个乘积的导数（如 $yy''+(y')^2=(yy')'$ ），能凑导数就不必换元；③ 数三不考此类型。

经验　缺谁换谁：缺 y 对 x 降，缺 x 对 y 降；先凑乘积导数，再套换元。

讲义 P53

例题 EXAMPLE13.7

例： $xy''+3y'=0$ 的通解

微分方程

xy''+3y'=0

的通解为______。

讲义 P53

例题 EXAMPLE13.8

例： $y''=y'\left[1+(y')^2\right]$ 满足 $y(0)=0,\ y'(0)=1$ 的特解

求微分方程

y''=y'\left[1+(y')^2\right]

满足

y(0)=0

，

y'(0)=1

的特解。

讲义 P53

例题 EXAMPLE13.9

例： $yy''+(y')^2=0$ 满足 $y|_{x=0}=1,\ y'|_{x=0}=\dfrac12$ 的特解

微分方程

yy''+y'^2=0

满足初始条件

y|_{x=0}=1

，

y'|_{x=0}=\dfrac12

的特解是______。

四. 高阶线性微分方程#

大纲：1. 线性微分方程的解的结构；2. 二阶常系数齐次线性微分方程；3. 二阶常系数非齐次线性微分方程；4. n 阶常系数齐次线性微分方程；5. 欧拉方程（仅数学一）。

4.1 线性微分方程的解的结构#

以二阶线性微分方程为例，其结论可以推广到更高阶的方程。二阶线性微分方程的一般形式为

y''+p(x)y'+q(x)y=f(x),

这里的

p(x)

，

q(x)

，

f(x)

均为连续函数。当方程右端的

f(x)\equiv0

时，称为二阶线性齐次方程，否则称为二阶线性非齐次方程。

讲义 P54

定理 THEOREM13.1

通解结构（齐次）

定理如果

y_1(x)

和

y_2(x)

是齐次方程

y''+p(x)y'+q(x)y=0

的两个线性无关的特解，那么

y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)

是齐次方程

y''+p(x)y'+q(x)y=0

的通解。

讲义 P54

注 NOTE

注：方程的两个解线性无关的充要条件是它们之比不为常数。

讲义 P54

定理 THEOREM13.2

通解结构（非齐次）

定理如果

y^*(x)

是非齐次方程

y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)

的一个特解，

y_1(x)

，

y_2(x)

是齐次方程

y''+p(x)y'+q(x)y=0

两个线性无关的特解，则

y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y^*(x)

是非齐次方程的通解。

讲义 P54

定理 THEOREM13.3

特解之差

定理如果

y_1^*(x)

，

y_2^*(x)

是非齐次方程

y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)

的两个特解，则

y(x)=y_1^*(x)-y_2^*(x)

是齐次方程

y''+p(x)y'+q(x)y=0

的解。

讲义 P54

定理 THEOREM13.4

叠加原理

定理如果

y_1^*(x)

，

y_2^*(x)

分别是方程

y''+p(x)y'+q(x)y=f_1(x)

，

y''+p(x)y'+q(x)y=f_2(x)

的一个特解，则

y(x)=y_1^*(x)+y_2^*(x)

是方程

y''+p(x)y'+q(x)y=f_1(x)+f_2(x)

的解。

4.2 二阶常系数齐次线性微分方程#

二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为

y''+py'+qy=0,

其特征方程为

r^2+pr+q=0

，设

r_1,r_2

为该方程的两个根。

讲义 P54

表 TABLE13.2特征根 → 通解（三种情形）共 3 式

(1)

r_1\neq r_2\ \text{为两个不相等的实特征根：}\ y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}

P54

(2)

r_1=r_2\ \text{为二重实特征根：}\ y=(C_1+C_2x)e^{r_1x}

P54

(3)

r_1=\alpha+i\beta,\ r_2=\alpha-i\beta\ \text{为一对共轭复根：}\ y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)

P54

讲义 P54

解题范式 PATTERN

范式：二阶常系数齐次方程特征法

识别特征　形如 $y''+py'+qy=0$ （ $p,q$ 为常数）的齐次线性方程。

固定套路

写特征方程 $r^2+pr+q=0$
求根，按判别式分三类
套对应通解模板（两异实根 / 重根多乘 x / 复根出三角）
有初始条件再定 $C_1,C_2$

易错点　① 复根 $\alpha\pm i\beta$ 的模板里是 $e^{\alpha x}$ 乘三角，别把 $\beta$ 也放进指数；② 重根模板第二项是 $C_2xe^{r_1x}$ ，漏掉 $x$ 是最常见错误；③ $y''$ 缺项时特征方程别写错次数（如 $y''+qy=0$ 的特征方程是 $r^2+q=0$ ）。

经验　写特征方程 → 求根 → 查三行模板，齐次方程就此终结。

讲义 P54

特征根分类互动：

y''+py'+qy=0

判别式

\Delta=p^2-4q

= -16.00

③ 一对共轭复根

特征根：

r_{1,2}=-1.00\pm2.00i

通解：

y=e^{-1.00x}\left(C_1\cos2.00x+C_2\sin2.00x\right)

p = 2.0

q = 5.0

盯着判别式符号： $\Delta>0$ 两条指数曲线叠加， $\Delta=0$ 多出一个 $x$ 因子， $\Delta<0$ 指数包络里藏振荡——三行通解模板全部对应上了。

特征根分类互动：拖动

p,q

，看判别式如何切换三种通解形态

讲义 P55

例题 EXAMPLE13.10

例： $y''-y'+\dfrac14y=0$ 的通解

微分方程

y''-y'+\dfrac14y=0

的通解为

y=

______。

讲义 P55

例题 EXAMPLE13.11

例： $y''+2y'+5y=0$ 的通解

微分方程

y''+2y'+5y=0

的通解为

y=

______。

4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程#

二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为

y''+py'+qy=f(x).

讲义 P55

表 TABLE13.3待定系数法设特解（两类右端）共 2 式

(1)

f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}\ \Rightarrow\ y^*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x}

P55

(2)

f(x)=e^{\alpha x}\left[P_l^{(1)}(x)\cos\beta x+P_n^{(2)}(x)\sin\beta x\right]\ \Rightarrow\ y^*=x^ke^{\alpha x}\left[R_m^{(1)}(x)\cos\beta x+R_m^{(2)}(x)\sin\beta x\right]

P55

(1)其中

P_m(x)

为

x

的

m

次多项式，

Q_m(x)

是与

P_m(x)

同次的多项式，

k

是特征方程含根

\lambda

的重复次数（

\lambda

不是特征根取

k=0

，单根取

k=1

，二重根取

k=2

）

(2)其中

P_l^{(1)}(x)

，

P_n^{(2)}(x)

分别为

x

的

l

次、

n

次多项式，

R_m^{(1)}(x)

，

R_m^{(2)}(x)

是两个

m

次多项式，

m=\max(l,n)

。当

\alpha+i\beta

不是特征方程的特征根时，取

k=0

；当

\alpha+i\beta

是特征方程的单特征根时，取

k=1

讲义 P55

解题范式 PATTERN

范式：待定系数法设特解的查表规则

识别特征　二阶常系数非齐次方程，右端是“多项式 × 指数（× 三角）”。

固定套路

先求特征方程 $r^2+pr+q=0$ 的根
右端 $P_m(x)e^{\lambda x}$ ：设 $y^*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x}$
右端 $e^{\alpha x}[P_l\cos\beta x+P_n\sin\beta x]$ ：设 $y^*=x^ke^{\alpha x}[R_m^{(1)}\cos\beta x+R_m^{(2)}\sin\beta x]$ ， $m=\max(l,n)$ ，且 $\cos,\sin$ 两项都要写
$k$ 按“撞根”定：不撞根 $k=0$ ，撞单根 $k=1$ ，撞二重根 $k=2$
代入比较系数，通解 = 齐次通解 + 特解

易错点　① 三角型右端即使只出现 $\cos$ ，特解里 $\cos,\sin$ 也必须成对设；② $m$ 取 $l,n$ 的较大者，多项式要设全（从常数项到 $x^m$ ）；③ 撞根时漏乘 $x^k$ 会导致代入后自相矛盾。

经验　右端长什么样，特解就设什么样——再按撞不撞特征根补一个 $x^k$ 。

讲义 P55

例题 EXAMPLE13.12

例： $y''-4y'+3y=2e^{2x}$ 的通解

二阶常系数非齐次线性微分方程

y''-4y'+3y=2e^{2x}

的通解为

y=

______。

讲义 P55

例题 EXAMPLE13.13

例：求 $y''-3y'+2y=2e^{-x}\cos x$ 的通解

求

y''-3y'+2y=2e^{-x}\cos x

的通解。

4.4 n 阶常系数齐次线性微分方程#

n 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为

y^{(n)}+p_1y^{(n-1)}+p_2y^{(n-2)}+\dots+p_{n-1}y'+p_ny=0,

其特征方程为

r^n+p_1r^{n-1}+p_2r^{n-2}+\dots+p_{n-1}r+p_n=0

，解出特征方程的根，写出对应的通解。

讲义 P56

表 TABLE13.4n 阶特征根 → 对应通解项共 4 式

(1)

r\ \text{为单实根：}\ y=Ce^{rx}

P56

(2)

r\ \text{为}\ k\ \text{重实根：}\ y=(C_1+C_2x+C_3x^2+\dots+C_kx^{k-1})e^{rx}

P56

(3)

r\ \text{为一对单复根}\ \alpha\pm i\beta：\ y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)

P56

(4)

r\ \text{为一对}\ k\ \text{重复根}\ \alpha\pm i\beta：\ y=e^{\alpha x}\left[(C_1+C_2x+C_3x^2+\dots+C_kx^{k-1})\cos\beta x+(D_1+D_2x+D_3x^2+\dots+D_kx^{k-1})\sin\beta x\right]

P56

讲义 P56

例题 EXAMPLE13.14

例： $y'''-2y''+y'-2y=0$ 的通解

三阶常系数线性齐次微分方程

y'''-2y''+y'-2y=0

的通解为______。

4.5 欧拉方程（仅数学一）#

讲义 P56

定义 DEFINITION13.13

形如

x^ny^{(n)}+p_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\dots+p_{n-1}xy'+p_ny=f(x)

（其中

p_1,p_2,\dots,p_n

为常数）的方程称为欧拉方程。当

x>0

时令

x=e^t

；当

x<0

时，令

x=-e^t

可将上述欧拉方程化为常系数线性微分方程。

通常考察二阶欧拉方程： $x^2\dfrac{d^2y}{dx^2}+px\dfrac{dy}{dx}+qy=f(x)$ 。 1) 当 $x>0$ 时，令 $x=e^t$ ，则 $t=\ln x$ ， $\dfrac{dt}{dx}=\dfrac1x$ ，于是 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dt}{dx}=\dfrac1x\dfrac{dy}{dt}$ ，

\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac1x\frac{dy}{dt}\right)=-\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt}+\frac1x\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dt}\right)=-\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{x^2}\frac{d^2y}{dt^2},

方程化

\dfrac{d^2y}{dt^2}+(p-1)\dfrac{dy}{dt}+qy=f(e^t)

即可求解（最后结果别忘了用

t=\ln x

回代成

x

的函数）。 2) 当

x<0

时，令

x=-e^t

，同理可得。

讲义 P56

例题 EXAMPLE13.15

例：欧拉方程 $x^2\dfrac{d^2y}{dx^2}+4x\dfrac{dy}{dx}+2y=0\ (x>0)$ 的通解

欧拉方程

x^2\dfrac{d^2y}{dx^2}+4x\dfrac{dy}{dx}+2y=0\ (x>0)

的通解为______。

五. 一阶常系数线性差分方程（仅数学三）#

1. 函数差分的定义#

讲义 P57

定义 DEFINITION13.14

函数

y_t=f(t)

，

t=0,\pm1,\pm2,\cdots

。函数

f(t)

在

t

时刻的一阶差分定义为

\Delta y_t=y_{t+1}-y_t=f(t+1)-f(t)

；函数

f(t)

在

t

时刻的二阶差分定义为

\Delta^2y_t=\Delta(\Delta y_t)=\Delta y_{t+1}-\Delta y_t=y_{t+2}-2y_{t+1}+y_t

。

2. 一阶常系数线性差分方程及其求解#

一阶常系数线性齐次差分方程 $y_{t+1}+ay_t=0$ 的通解为 $y_c(t)=C\cdot(-a)^t$ ， $C$ 为任意常数。一阶常系数线性非齐次差分方程 $y_{t+1}+ay_t=f(t)$ 的通解为 $y_t=y_c(t)+y^*(t)$ ，其中 $y^*(t)$ 是非齐次差分方程的特解。

讲义 P57

表 TABLE13.5非齐次差分方程特解设法共 2 式

(1)

f(t)=P_m(t)：\ \text{若}\ a\neq-1，\ \text{令}\ y^*(t)=Q_m(t)；\ \text{若}\ a=-1，\ \text{令}\ y^*(t)=tQ_m(t)

P57

(2)

f(t)=d^tP_m(t)\ (d\neq0)：\ \text{若}\ a+d\neq0，\ \text{令}\ y=d^t\cdot Q_m(t)；\ \text{若}\ a+d=0，\ \text{令}\ y=td^t\cdot Q_m(t)

P57

讲义 P57

例题 EXAMPLE13.16

例：差分方程 $y_{t+1}-y_t=t2^t$ 的通解

差分方程

y_{t+1}-y_t=t2^t

的通解为______。

讲义 P57

例题 EXAMPLE13.17

例：差分方程 $y_{t+1}-2y_t=2^t$ 的通解

差分方程

y_{t+1}-2y_t=2^t

的通解为______。

➋（二）相关例题#

讲义 P58

例题 EXAMPLE13.18

1.（选择题） $y''-4y'+8y=e^{2x}(1+2\cos2x)$ 的特解可设为

微分方程

y''-4y'+8y=e^{2x}(1+2\cos2x)

的特解可设为

y^*=(\quad)

(A)

Ae^{2x}+e^{2x}(B\cos2x+C\sin2x)

(B)

Axe^{2x}+e^{2x}(B\cos2x+C\sin2x)

(C)

Ae^{2x}+xe^{2x}(B\cos2x+C\sin2x)

(D)

Axe^{2x}+xe^{2x}(B\cos2x+C\sin2x)

讲义 P58

例题 EXAMPLE13.19

2.（选择题）已知特解反求系数 $a,b,c$

设

y=\dfrac12e^x+\left(x-\dfrac13\right)e^x

是二阶常系数非齐次线性微分方程

y''+ay'+by=ce^x

的一个特解，则（　） (A)

a=-3,\ b=2,\ c=-1

　　(B)

a=3,\ b=2,\ c=-1

(C)

a=-3,\ b=2,\ c=1

　　(D)

a=3,\ b=2,\ c=1

讲义 P58

例题 EXAMPLE13.20

3.（选择题）极限 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x^2)}{y(x)}$

设

y=y(x)

是二阶常系数微分方程

y''+py'+qy=e^{3x}

满足初始条件

y(0)=y'(0)=0

的特解，则当

x\to0

时，函数

\dfrac{\ln(1+x^2)}{y(x)}

的极限（　） (A) 不存在　　(B) 等于

1

2

　　(D) 等于

3

讲义 P58

例题 EXAMPLE13.21

4. 由微分式建立方程求 $f(1)$

设函数

f(x)

满足

f(x+\Delta x)-f(x)=2xf(x)\Delta x+o(\Delta x)\ (\Delta x\to0)

，且

f(0)=2

，则

f(1)=

______。

讲义 P58

例题 EXAMPLE13.22

5. 积分方程化微分方程求 $f(x)$

设函数

f(x)

连续，且满足

\displaystyle\int_0^xf(x-t)\,dt=\int_0^x(x-t)f(t)\,dt+e^{-x}-1

，求

f(x)

的表达式。

讲义 P58

注 NOTE

例题部分讲义第 59 页起未拍摄，后续例题待补拍后补充。

—— 本讲完 ——

微分方程

➊（一）基础知识#

一. 微分方程的基本概念#

1. 微分方程

2. 微分方程的阶

3. 微分方程的解

4. 微分方程的通解

5. 微分方程的特解

6. 初始条件

7. 积分曲线

二. 一阶微分方程#

2.1 可分离变量的方程#

例：微分方程 y′=y(1−x)xy'=\dfrac{y(1-x)}{x}y′=xy(1−x)​ 的通解

2.2 齐次微分方程#

例：x2y′+xy=y2x^2y'+xy=y^2x2y′+xy=y2 满足 y(1)=1y(1)=1y(1)=1 的特解

2.3 一阶线性微分方程#

例：(y+x2e−x) dx−x dy=0(y+x^2e^{-x})\,dx-x\,dy=0(y+x2e−x)dx−xdy=0 的通解

例（选择题）：设 y=φ(x)y=\varphi(x)y=φ(x) 是 y′+ey=(1−1x)xy'+ey=\left(1-\dfrac1x\right)^xy′+ey=(1−x1​)x 的一个解

2.4 伯努利方程（仅数学一）#

2.5 全微分方程（仅数学一）#

范式：一阶方程类型判别决策树

例：y dx=(1+xln⁡y)x dyy\,dx=(1+x\ln y)x\,dyydx=(1+xlny)xdy 的通解

例：求全微分方程中的 f(x)f(x)f(x) 并求通解

三. 二阶可降阶的微分方程（仅数学一、数学二）#

范式：可降阶方程的换元选择（仅数一、数二）

例：xy′′+3y′=0xy''+3y'=0xy′′+3y′=0 的通解

例：y′′=y′[1+(y′)2]y''=y'\left[1+(y')^2\right]y′′=y′[1+(y′)2] 满足 y(0)=0, y′(0)=1y(0)=0,\ y'(0)=1y(0)=0, y′(0)=1 的特解

例：yy′′+(y′)2=0yy''+(y')^2=0yy′′+(y′)2=0 满足 y∣x=0=1, y′∣x=0=12y|_{x=0}=1,\ y'|_{x=0}=\dfrac12y∣x=0​=1, y′∣x=0​=21​ 的特解

四. 高阶线性微分方程#

4.1 线性微分方程的解的结构#

通解结构（齐次）

通解结构（非齐次）

特解之差

叠加原理

4.2 二阶常系数齐次线性微分方程#

范式：二阶常系数齐次方程特征法

例：y′′−y′+14y=0y''-y'+\dfrac14y=0y′′−y′+41​y=0 的通解

例：y′′+2y′+5y=0y''+2y'+5y=0y′′+2y′+5y=0 的通解

4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程#

范式：待定系数法设特解的查表规则

例：y′′−4y′+3y=2e2xy''-4y'+3y=2e^{2x}y′′−4y′+3y=2e2x 的通解

例：求 y′′−3y′+2y=2e−xcos⁡xy''-3y'+2y=2e^{-x}\cos xy′′−3y′+2y=2e−xcosx 的通解

4.4 n 阶常系数齐次线性微分方程#

例：y′′′−2y′′+y′−2y=0y'''-2y''+y'-2y=0y′′′−2y′′+y′−2y=0 的通解

4.5 欧拉方程（仅数学一）#

例：欧拉方程 x2d2ydx2+4xdydx+2y=0 (x>0)x^2\dfrac{d^2y}{dx^2}+4x\dfrac{dy}{dx}+2y=0\ (x>0)x2dx2d2y​+4xdxdy​+2y=0 (x>0) 的通解

五. 一阶常系数线性差分方程（仅数学三）#

1. 函数差分的定义#

2. 一阶常系数线性差分方程及其求解#

例：差分方程 yt+1−yt=t2ty_{t+1}-y_t=t2^tyt+1​−yt​=t2t 的通解

例：差分方程 yt+1−2yt=2ty_{t+1}-2y_t=2^tyt+1​−2yt​=2t 的通解

➋（二）相关例题#

1.（选择题）y′′−4y′+8y=e2x(1+2cos⁡2x)y''-4y'+8y=e^{2x}(1+2\cos2x)y′′−4y′+8y=e2x(1+2cos2x) 的特解可设为

2.（选择题）已知特解反求系数 a,b,ca,b,ca,b,c

3.（选择题）极限 lim⁡x→0ln⁡(1+x2)y(x)\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x^2)}{y(x)}x→0lim​y(x)ln(1+x2)​

4. 由微分式建立方程求 f(1)f(1)f(1)

5. 积分方程化微分方程求 f(x)f(x)f(x)

例：微分方程 $y'=\dfrac{y(1-x)}{x}$ 的通解

例： $x^2y'+xy=y^2$ 满足 $y(1)=1$ 的特解

例： $(y+x^2e^{-x})\,dx-x\,dy=0$ 的通解

例（选择题）：设 $y=\varphi(x)$ 是 $y'+ey=\left(1-\dfrac1x\right)^x$ 的一个解

例： $y\,dx=(1+x\ln y)x\,dy$ 的通解

例：求全微分方程中的 $f(x)$ 并求通解

例： $xy''+3y'=0$ 的通解

例： $y''=y'\left[1+(y')^2\right]$ 满足 $y(0)=0,\ y'(0)=1$ 的特解

例： $yy''+(y')^2=0$ 满足 $y|_{x=0}=1,\ y'|_{x=0}=\dfrac12$ 的特解

例： $y''-y'+\dfrac14y=0$ 的通解

例： $y''+2y'+5y=0$ 的通解

例： $y''-4y'+3y=2e^{2x}$ 的通解

例：求 $y''-3y'+2y=2e^{-x}\cos x$ 的通解

例： $y'''-2y''+y'-2y=0$ 的通解

例：欧拉方程 $x^2\dfrac{d^2y}{dx^2}+4x\dfrac{dy}{dx}+2y=0\ (x>0)$ 的通解

例：差分方程 $y_{t+1}-y_t=t2^t$ 的通解

例：差分方程 $y_{t+1}-2y_t=2^t$ 的通解

1.（选择题） $y''-4y'+8y=e^{2x}(1+2\cos2x)$ 的特解可设为

2.（选择题）已知特解反求系数 $a,b,c$

3.（选择题）极限 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x^2)}{y(x)}$

4. 由微分式建立方程求 $f(1)$

5. 积分方程化微分方程求 $f(x)$