高等数学（下）· 讲义第 1–9 页

不定积分

83: 内容块
20: 例题
4: 公式表
5: 互动图解

与原稿逐页对照（卡片右上角页码签）· 课堂笔记与随堂例题见右栏

➊（一）基础知识#

一. 不定积分的概念与性质：1. 原函数与不定积分的定义；2. 原函数（不定积分）存在性的一些结论；3. 不定积分的性质。

一. 不定积分的概念与性质#

1.1 原函数与不定积分的定义#

讲义 P1

定义 DEFINITION8.1

原函数与不定积分

设函数

f(x)

定义在某区间

I

上，若存在可导函数

F(x)

，对于该区间上任意一点都有

F'(x)=f(x)

成立，则称

F(x)

是

f(x)

在区间

I

上的一个原函数，称

\int f(x)\,dx=F(x)+C

为

f(x)

在区间

I

上的不定积分。

讲义 P1

注 NOTE

谈到原函数与不定积分，均以指定的某区间上为前提。

1.2 原函数（不定积分）的存在性#

讲义 P1

定理 THEOREM8.1

1. 连续函数 $f(x)$ 必有原函数

定理（原函数存在定理）如果函数

f(x)

在

[a,b]

上连续，则函数

F(x)=\int_a^x f(t)\,dt

在

[a,b]

上可导，且

F'(x)=f(x)

。

讲义 P1

证明 PROOF（点击折叠）

（课堂手写整理）

\forall x_0\in(a,b)

，

F'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{\int_a^x f(t)\,dt-\int_a^{x_0} f(t)\,dt}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{\int_{x_0}^{x} f(t)\,dt}{x-x_0}

由积分中值定理，

\int_{x_0}^{x} f(t)\,dt=(x-x_0)f(\xi)

（

\xi

在

x

与

x_0

之间），故

F'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{(x-x_0)f(\xi)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}f(\xi)=f(x_0)\ \Rightarrow\ F'(x_0)=f(x_0)\ \Rightarrow\ F'(x)=f(x).

✨ 优化证明（对照版）

更规范的两步论证： **第一步（化差商为积分）**：由积分可加性，

F(x)-F(x_0)=\int_{x_0}^{x}f(t)\,dt

。 **第二步（取极限）**：由积分中值定理，存在

\xi

介于

x

与

x_0

之间使

\int_{x_0}^{x}f(t)\,dt=f(\xi)(x-x_0)

。当

x\to x_0

时

\xi\to x_0

，再由

f

在

x_0

连续，

f(\xi)\to f(x_0)

，故

F'(x_0)=f(x_0)

。关键点：连续性用在最后一步——

\xi

被迫趋向

x_0

，

f(\xi)

才趋向

f(x_0)

。

讲义 P1

变上限积分：

F(x)=\int_a^x f(t)\,dt

就是原函数

x = 2.00阴影面积 F(x) = 3.82f(x) = 2.11

左边阴影“长”出右边的曲线：面积累积的速度恰是曲线的高度—— $F'(x)=f(x)$ ，连续函数必有原函数。

拖动

x

：阴影面积累积生成

F(x)

，直观看到

F'(x)=f(x)

（原函数存在定理）

讲义 P1

定理 THEOREM8.2

2. 有第一类间断点或无穷间断点的函数没有原函数

定理

f(x)

有第一类间断点，则

f(x)

没有原函数；定理

f(x)

有无穷间断点，则

f(x)

没有原函数。

讲义 P1

证明 PROOF（点击折叠）

设

F(x)

为

f(x)

在

I

内的一个原函数，则

F(x)

在

I

内可导，且

F'(x)=f(x)

，并设

x=x_0\in I

为

F'(x)

的间断点。 (1)

x=x_0

为可去间断点，即

\lim\limits_{x\to x_0}f(x)

存在，但

\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\neq f(x_0)

，也即

\lim\limits_{x\to x_0}F'(x)\neq F'(x_0)

，而由洛必达法则

F'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}F'(x)

，矛盾； (2)

x=x_0

为跳跃间断点，即

\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+}F'(x)

存在，

\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^-}F'(x)

存在，但不相等，而

F'_+(x_0)=\lim_{x\to x_0^+}\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0^+}F'(x),\qquad F'_-(x_0)=\lim_{x\to x_0^-}\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0^-}F'(x),

又

F'(x_0)

是存在的，则

F'_+(x_0)=F'_-(x_0)

，即

\lim\limits_{x\to x_0^+}F'(x)=\lim\limits_{x\to x_0^-}F'(x)

，矛盾； (3)

x=x_0

为无穷间断点，即

\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}F'(x)=\infty

，而

F'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}F'(x)=\infty,

又

F'(x_0)

是存在的，矛盾。

讲义 P2

注 NOTE

f(x)

有震荡间断点，则

f(x)

**可能**有原函数。例如

f(x)=\begin{cases}2x\sin\dfrac1x-\cos\dfrac1x,&x\neq0,\\[2pt]0,&x=0\end{cases}

在

(-\infty,+\infty)

上有震荡间断点

x=0

，但

f(x)

在

(-\infty,+\infty)

上有原函数

F(x)=\begin{cases}x^2\sin\dfrac1x,&x\neq0,\\[2pt]0,&x=0.\end{cases}

2) 上述定理也说明，导函数可能连续，可能含有震荡间断点，但不可以含有第一类间断点或无穷间断点。

1.3 不定积分的性质#

1. $\left(\int f(x)\,dx\right)'=f(x)$ ， $d\int f(x)\,dx=f(x)\,dx$ ；

2. $\int f'(x)\,dx=f(x)+C$ ， $\int df(x)=f(x)+C$ ；

3.（线性性质） $\int\left[k_1f(x)\pm k_2g(x)\right]dx=k_1\int f(x)\,dx\pm k_2\int g(x)\,dx$ 。

二. 不定积分的计算#

大纲：1. 第一类换元法（凑微分）；2. 第二类换元；3. 分部积分法；4. 有理函数的积分法；5. 三角函数的积分法。

讲义 P2

表 TABLE8.1基本积分公式共 21 式

(1)

\int x^k\,dx=\dfrac{1}{k+1}x^{k+1}+C

k≠-1P2

(2)

\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C

(3)

\int e^x\,dx=e^x+C

(4)

\int a^x\,dx=\dfrac{a^x}{\ln a}+C

a>0 且 a≠1P3

(5)

\int\sin x\,dx=-\cos x+C

(6)

\int\cos x\,dx=\sin x+C

(7)

\int\tan x\,dx=-\ln|\cos x|+C

(8)

\int\cot x\,dx=\ln|\sin x|+C

(9)

\int\sec x\,dx=\ln|\sec x+\tan x|+C

(10)

\int\csc x\,dx=\ln|\csc x-\cot x|+C

(11)

\int\sec^2x\,dx=\tan x+C

(12)

\int\csc^2x\,dx=-\cot x+C

(13)

\int\sec x\tan x\,dx=\sec x+C

(14)

\int\csc x\cot x\,dx=-\csc x+C

(15)

\int\dfrac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C

(16)

\int\dfrac{dx}{a^2+x^2}=\dfrac1a\arctan\dfrac xa+C

a>0P3

(17)

\int\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C

(18)

\int\dfrac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\dfrac xa+C

a>0P3

(19)

\int\dfrac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C

(20)

\int\dfrac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+C

|x|>|a|P3

(21)

\int\dfrac{dx}{x^2-a^2}=\dfrac{1}{2a}\ln\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|+C

(21)另一形式：

\int\dfrac{dx}{a^2-x^2}=\dfrac{1}{2a}\ln\left|\dfrac{x+a}{x-a}\right|+C

2.1 第一类换元法（凑微分）#

讲义 P3

定义 DEFINITION8.2

\int f[g(x)]g'(x)\,dx=\int f[g(x)]\,d[g(x)]=\int f(u)\,du,\quad (g(x)=u)

讲义 P3

注 NOTE

1. 凑微分的基本思路是拿出被积函数的一部分因子放到 d 后面去；2. 常用的凑微分技巧：

讲义 P3

表 TABLE8.2常用凑微分技巧（十式）共 10 式

(1)

\int xf(x^2)\,dx=\dfrac12\int f(x^2)\,d(x^2)

(2)

\int\dfrac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\,dx=2\int f(\sqrt{x})\,d(\sqrt{x})

(3)

\int\dfrac{f(\ln x)}{x}\,dx=\int f(\ln x)\,d(\ln x)

(4)

\int e^xf(e^x)\,dx=\int f(e^x)\,d(e^x)

(5)

\int\sin x\cdot f(-\cos x)\,dx=\int f(-\cos x)\,d(-\cos x)

(6)

\int\cos x\cdot f(\sin x)\,dx=\int f(\sin x)\,d(\sin x)

(7)

\int\dfrac{f(\tan x)}{\cos^2x}\,dx=\int f(\tan x)\,d(\tan x)

(8)

\int\dfrac{f(-\cot x)}{\sin^2x}\,dx=\int f(-\cot x)\,d(-\cot x)

(9)

\int\dfrac{f(\arctan x)}{1+x^2}\,dx=\int f(\arctan x)\,d(\arctan x)

(10)

\int\dfrac{f(\arcsin x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\int f(\arcsin x)\,d(\arcsin x)

讲义 P4

解题范式 PATTERN

范式：凑微分十式

识别特征　被积函数是“外函数 × 内函数的导数”结构（缺个常数倍没关系，配凑补上）。

固定套路

盯住复合部分（内层函数 $u=g(x)$ ）
检查剩余因子是否恰为 $g'(x)\,dx$ （可配常数）
凑成 $\int f(u)\,du$ ，套基本公式
回代 $u=g(x)$ ，别忘 $+C$

易错点　配凑常数时积分号外要补倒数，如 $\int xf(x^2)dx=\frac12\int f(x^2)d(x^2)$ ，漏掉 $\frac12$ 是最常见错误。

经验　凑微分是“读”出来的：先猜内层，再验导数。

讲义 P3

例题 EXAMPLE8.1

例：凑微分推出 7 个常用公式

①

\int\tan x\,dx

；②

\int\cot x\,dx

；③

\int\dfrac{dx}{\cos x}=\int\sec x\,dx

；④

\int\dfrac{dx}{\sin x}=\int\csc x\,dx

；⑤

\int\dfrac{dx}{a^2+x^2}

；⑥

\int\dfrac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}

；⑦

\int\dfrac{dx}{x^2-a^2}

。

2.2 第二类换元法#

讲义 P4

定义 DEFINITION8.3

\int f(x)\,dx=\int f[g(u)]g'(u)\,du,\quad (x=g(u))

讲义 P4

注 NOTE

1. 第二类换元法的基本思路是利用

x=g(u)

将原积分化为关于

u

的容易的积分； 2. 积分计算完毕最后一步需要利用

u=g^{-1}(x)

回代入得到关于

x

的函数； 3.

x=g(u)

必须要是单调可导函数； 4. 常用变量代换：

讲义 P4

表 TABLE8.3常用变量代换共 6 式

(1)

\int f\left(x,\sqrt[n]{ax+b}\right)dx

(2)

\int f\left(x,\sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cx+d}}\right)dx

(3)

\int f\left(x,\sqrt{a^2-x^2}\right)dx

(4)

\int f\left(x,\sqrt{a^2+x^2}\right)dx

(5)

\int f\left(x,\sqrt{x^2-a^2}\right)dx

(6)

\int\dfrac{P(x)}{Q(x)}\,dx

分母比分子高两次以上P5

(1)根式整体代换：设

t=\sqrt[n]{ax+b}

(2)根式整体代换：设

t=\sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cx+d}}

(3)三角代换：设

x=a\sin t

或

x=a\cos t

(4)三角代换：设

x=a\tan t

(5)三角代换：设

x=a\sec t

(6)倒代换：可考虑设

x=\dfrac1t

讲义 P5

解题范式 PATTERN

范式：三角代换三选一

识别特征　被积函数含 $\sqrt{a^2-x^2}$ 、 $\sqrt{a^2+x^2}$ 、 $\sqrt{x^2-a^2}$ 之一。

固定套路

$\sqrt{a^2-x^2}\to x=a\sin t$ （或 $a\cos t$ ）； $\sqrt{a^2+x^2}\to x=a\tan t$ ； $\sqrt{x^2-a^2}\to x=a\sec t$
代入化简，根号立即消失（化为一角函数）
对 t 积分
画直角三角形回代，把 t 的三角函数换回 x

易错点　回代时忘画三角形、把 $\sec t$ 直接写成 $\frac{x}{a}$ 以外的式子；忽略定义域（如 $|x|>|a|$ ）导致丢绝对值。

经验　根号里是平方和差 → 三角代换；和用 tan，差看位置：被减用 sin，减人用 sec。

讲义 P5

三角代换图解器（a = 2）

代换：

x=a\sin t

恒等式：

a^2-x^2=a^2\cos^2t

三边数值：邻边 1.53，对边 1.29，斜边 2.00

t = 0.70 rad

记住三角形，回代不用背：积分完把 $t$ 的三角函数对着三角形读回 $x$ 。

三种三角代换的直角三角形图解：拖动 t 角，看三条边怎么变

讲义 P4

例题 EXAMPLE8.2

例：根式积分

\int\dfrac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C

；

\int\dfrac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+C\ (|x|>|a|)

。

2.3 分部积分法#

讲义 P5

定义 DEFINITION8.4

\int uv'\,dx=uv-\int u'v\,dx\qquad\text{或}\qquad\int u\,dv=uv-\int v\,du

讲义 P5

注 NOTE

分部积分法适用于两个函数的乘积的积分，如何确定

u,v

是关键，口诀“反对幂指三（三指）”，口诀中相对位置在前的选作

u

。

讲义 P5

解题范式 PATTERN

范式：分部积分表格法

识别特征　多项式 ×（三角/指数），或指数 × 三角的乘积积分。

固定套路

上排写易导的一方，逐次求导到 0（多项式）
下排写另一方，逐次积分
斜线配对，符号 +−+− 交替相加
若出现与原积分同型的项（如 $\int e^x\cos2x\,dx$ ），移项除以系数

易错点　① 符号交替写错；② 循环型忘移项；③ 表格法是分部积分的压缩写法，本质仍是 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ ， $u$ 选错表格会无限拉长。

经验　上导下积，正负交替；多项式求导到 0 为止，循环型移项收尾。

讲义 P5

分部积分表格法：

\int x^2\sin x\,dx

口诀：上导下积，正负交替

上排：逐次求导

下排：逐次积分

x^2

↓ 求导

\sin x

↓ 积分

2x

↓ 求导

-\cos x

↓ 积分

2

↓ 求导

-\sin x

↓ 积分

0

\cos x

斜线配对（+ − + 交替）：

x^2\cdot(-\cos x)

-x^2\cos x

−

2x\cdot(-\sin x)

+2x\sin x

2\cdot\cos x

+2\cos x

\int x^2\sin x\,dx

表格法逐步演示：点“下一步”看斜线配对与正负交替

讲义 P5

“反对幂指三”：选 u 练习

口诀：反三角、对数、幂函数、指数、三角——相对位置在前的选作

u

\int x\,e^x\,dx

点击你认为应该选作

u

的因子：

“反对幂指三”选 u 练习：选对 u，积分越做越简

2.4 有理函数的积分法#

1. 一般方法（部分分式法）

讲义 P5

定义 DEFINITION8.5

有理函数的积分

形如

\int\dfrac{P_n(x)}{Q_m(x)}\,dx

（其中

n<m

）的积分称为有理函数的积分，其中

P_n(x)

、

Q_m(x)

分别是

x

的

n

次多项式和

m

次多项式。

(2) 思想：若 $Q_m(x)$ 在实数域内可因式分解，则因式分解后再把 $\dfrac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ 拆成若干项最简有理分式之和，其中最简有理分式分为： $\dfrac{A}{ax+b}$ ， $\dfrac{A_k}{(ax+b)^k}$ ， $\dfrac{Ax+B}{px^2+qx+r}$ ， $\dfrac{A_kx+B_k}{(px^2+qx+r)^k}$ （ $k>0,k\neq1$ ）。

(3) 方法（如何拆）： 1) $Q_m(x)$ 的一次单因式 $ax+b$ 产生一项 $\dfrac{A}{ax+b}$ 。 2) $Q_m(x)$ 的 $k$ 重一次因式 $(ax+b)^k$ 产生 $k$ 项，分别为 $\dfrac{A_1}{ax+b},\dfrac{A_2}{(ax+b)^2},\cdots,\dfrac{A_k}{(ax+b)^k}$ （ $k>0,k\neq1$ ）。 3) $Q_m(x)$ 的二次单因式 $px^2+qx+r$ 产生一项 $\dfrac{Ax+B}{px^2+qx+r}$ 。 4) $Q_m(x)$ 的 $k$ 重二次因式 $(px^2+qx+r)^k$ 产生 $k$ 项，分别为 $\dfrac{A_1x+B_1}{px^2+qx+r},\dfrac{A_2x+B_2}{(px^2+qx+r)^2},\cdots,\dfrac{A_kx+B_k}{(px^2+qx+r)^k}$ 。

2. 特殊方法：加减拆项。例如 $\dfrac{1}{x(x-1)^2}=\dfrac{x-(x-1)}{x(x-1)^2}=\dfrac{1}{(x-1)^2}-\dfrac{1}{x(x-1)}$ ；又如 $\dfrac{1}{(x+1)^2(x^2-1)}=\cdots$ （继续按同样思路拆）。

讲义 P6

解题范式 PATTERN

范式：部分分式拆分

识别特征　真分式（分子次数 < 分母次数）的有理函数积分。

固定套路

分母在实数域内因式分解到底（一次因式 + 不可约二次因式）
按四条规则设出最简分式之和（重因式要写全各次幂）
通分，分子恒等，用特值法（优先）或比较系数法解出待定系数
逐项积分：一次项出 $\ln$ ，重幂项出幂函数，二次项凑 $\arctan$ /配方

易错点　① 重因式少写项；② 假分式没先多项式除法化真分式；③ 特值法后代入值算错符号。

经验　先分解、再设项、后定参——特值法永远比展开快。

讲义 P6

部分分式拆解：特值法分步动画

\dfrac{4x^2-6x-1}{(x+1)(2x-1)^2}

（讲义第 5 页例）

第 1 步：按规则设出拆分式

分母已分解为一次单因式

(x+1)

与二重一次因式

(2x-1)^2

，故设

\frac{4x^2-6x-1}{(x+1)(2x-1)^2}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{2x-1}+\frac{C}{(2x-1)^2}

注意：重因式要写全各次幂——

(2x-1)

与

(2x-1)^2

两项一个都不能少。

特值法求

A,B,C

分步动画（讲义第 5 页例）

讲义 P5

例题 EXAMPLE8.3

例：部分分式拆分与积分

\frac{4x^2-6x-1}{(x+1)(2x-1)^2}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{2x-1}+\frac{C}{(2x-1)^2}

讲义 P6

例题 EXAMPLE8.4

又如：含二次单因式的拆分

\frac{3x+6}{(x^2+x+1)(x-1)^2}=\frac{Ax+B}{x^2+x+1}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2}

2.5 三角函数的积分法 $\int R(\sin x,\cos x)\,dx$ #

1. 三角变形、凑微分、分部积分——按奇偶性选择凑法：

讲义 P6

表 TABLE8.4共 4 式

(1)

R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)

(2)

R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)

(3)

R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)

(4)

\int f(\sin x)\cos x\,dx=\int f(\sin x)\,d(\sin x)

(1)关于

\sin x

为奇 → 可考虑凑

d\cos x

(2)关于

\cos x

为奇 → 可考虑凑

d\sin x

(3)关于两者均为偶 → 可考虑凑

d\tan x

(4)⑤ …（其余情形依此类推）

2. 万能代换，令 $\tan\dfrac{x}{2}=t$ ：

\int R(\sin x,\cos x)\,dx=\int R\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\cdot\frac{2}{1+t^2}\,dt.

讲义 P6

✍️ 课堂笔记

三角变形工具箱：①

\sin^2x+\cos^2x=1

（多种妙用）；② 倍角：

\sin2x=2\sin x\cos x

，

\cos2x=\cos^2x-\sin^2x

，

\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}

，

\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}

；③ 积化和差：

\sin\alpha\cos\beta=\frac12[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]

，

\cos\alpha\sin\beta=\frac12[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]

，

\sin\alpha\sin\beta=-\frac12[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]

，

\cos\alpha\cos\beta=\frac12[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]

。万能代换推导：

\sin x=2\sin\dfrac x2\cos\dfrac x2=\dfrac{2\tan\frac x2}{\sec^2\frac x2}=\dfrac{2t}{1+t^2}

，

\cos x=\cos^2\dfrac x2-\sin^2\dfrac x2=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}

，

x=2\arctan t\Rightarrow dx=\dfrac{2}{1+t^2}dt

——于是三角积分化为有理函数积分。

➋（二）相关例题#

一. 原函数与不定积分的概念#

讲义 P7

例题 EXAMPLE8.5

1. 下列函数在给定区间上是否有原函数？

(1)

f(x)=\begin{cases}x\sin\dfrac1x,&x\neq0,\\ 0,&x=0;\end{cases}

(2)

g(x)=\mathrm{sgn}\,x=\begin{cases}-1,&x<0,\\ 0,&x=0,\\ 1,&x>0;\end{cases}

(3)

h(x)=\begin{cases}2x\sin\dfrac1x-\cos\dfrac1x,&x\neq0,\\ 0,&x=0.\end{cases}

讲义 P7

例题 EXAMPLE8.6

2. 设 $f(x)=\begin{cases}e^x,&x\geq0,\\ \cos x,&x<0,\end{cases}$ 求 $\int f(x)\,dx$

分段函数求不定积分。

讲义 P7

例题 EXAMPLE8.7

3.（选择题）函数 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}},&x\leq0,\\ (x+1)\cos x,&x>0\end{cases}$ 的一个原函数为

(A)

F(x)=\begin{cases}\ln\left(\sqrt{1+x^2}-x\right),&x\leq0,\\ (x+1)\cos x-\sin x,&x>0\end{cases}

(B)

F(x)=\begin{cases}\ln\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)+1,&x\leq0,\\ (x+1)\cos x-\sin x,&x>0\end{cases}

(C)

F(x)=\begin{cases}\ln\left(\sqrt{1+x^2}+x\right),&x\leq0,\\ (x+1)\sin x+\cos x,&x>0\end{cases}

(D)

F(x)=\begin{cases}\ln\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)+1,&x\leq0,\\ (x+1)\sin x+\cos x,&x>0\end{cases}

二. 不定积分的计算#

讲义 P7

例题 EXAMPLE8.8

1. $\int\dfrac{x^4-x^2}{1+x^2}\,dx$

假分式，先拆项。

讲义 P7

例题 EXAMPLE8.9

2. $\int\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}\,dx$

三角分式，先有理化。

讲义 P8

例题 EXAMPLE8.10

3. $\int x^2\sin x\,dx$

多项式 × 三角，分部两次（或表格法）。

讲义 P8

例题 EXAMPLE8.11

4. $\int e^x\sin^2x\,dx$

指数 × 三角平方，先降幂再循环。

讲义 P8

例题 EXAMPLE8.12

5. $\int\dfrac{x+5}{x^2-6x+13}\,dx$

分子凑分母的导数，剩余配方凑 arctan。

讲义 P8

例题 EXAMPLE8.13

6. $\int\dfrac{x\,dx}{x^4+2x^2+5}$

偶次分母，凑

d(x^2)

。

讲义 P8

例题 EXAMPLE8.14

7. $\int\dfrac{dx}{\sin2x+2\sin x}$

三角分式，化单角后凑

d\cos x

。

讲义 P8

例题 EXAMPLE8.15

8. $\int\dfrac{dx}{\cos x(1+\sin x)}$

乘

\frac{\cos x}{\cos x}

凑

d\sin x

。

讲义 P9

例题 EXAMPLE8.16

9. $\int\dfrac{dx}{\sin x(\sin x+\cos x)}$

齐次三角分式，凑

d\tan x

。

讲义 P9

例题 EXAMPLE8.17

10. $\int\dfrac1x\sqrt{\dfrac{x+1}{x}}\,dx$

根式整体代换（常用变量代换 (2)）。

讲义 P9

例题 EXAMPLE8.18

11. 已知 $\dfrac{\sin x}{x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，求 $\int x^3f'(x)\,dx$

抽象函数积分，分部把

f'

降下来。

讲义 P9

例题 EXAMPLE8.19

12. $\int\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{4-x^3}}\,dx$

幂函数复合，凑

d\left(x^{3/2}\right)

。

讲义 P9

例题 EXAMPLE8.20

13. $\int e^{\frac{\sin\theta}{\cos\theta+\sin\theta}}\cdot\dfrac{1}{(\cos\theta+\sin\theta)^2}\,d\theta$

观察指数部分的导数。

—— 本讲完 ——

不定积分

➊（一）基础知识#

一. 不定积分的概念与性质#

1.1 原函数与不定积分的定义#

原函数与不定积分

1.2 原函数（不定积分）的存在性#

1. 连续函数 f(x)f(x)f(x) 必有原函数

2. 有第一类间断点或无穷间断点的函数没有原函数

1.3 不定积分的性质#

二. 不定积分的计算#

2.1 第一类换元法（凑微分）#

范式：凑微分十式

例：凑微分推出 7 个常用公式

2.2 第二类换元法#

范式：三角代换三选一

例：根式积分

2.3 分部积分法#

范式：分部积分表格法

2.4 有理函数的积分法#

有理函数的积分

范式：部分分式拆分

例：部分分式拆分与积分

又如：含二次单因式的拆分

2.5 三角函数的积分法 ∫R(sin⁡x,cos⁡x) dx\int R(\sin x,\cos x)\,dx∫R(sinx,cosx)dx#

➋（二）相关例题#

一. 原函数与不定积分的概念#

1. 下列函数在给定区间上是否有原函数？

2. 设 f(x)={ex,x≥0,cos⁡x,x<0,f(x)=\begin{cases}e^x,&x\geq0,\\ \cos x,&x<0,\end{cases}f(x)={ex,cosx,​x≥0,x<0,​ 求 ∫f(x) dx\int f(x)\,dx∫f(x)dx

3.（选择题）函数 f(x)={11+x2,x≤0,(x+1)cos⁡x,x>0f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}},&x\leq0,\\ (x+1)\cos x,&x>0\end{cases}f(x)=⎩⎨⎧​1+x2​1​,(x+1)cosx,​x≤0,x>0​ 的一个原函数为

二. 不定积分的计算#

1. ∫x4−x21+x2 dx\int\dfrac{x^4-x^2}{1+x^2}\,dx∫1+x2x4−x2​dx

2. ∫1−sin⁡x1+sin⁡x dx\int\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}\,dx∫1+sinx1−sinx​dx

3. ∫x2sin⁡x dx\int x^2\sin x\,dx∫x2sinxdx

4. ∫exsin⁡2x dx\int e^x\sin^2x\,dx∫exsin2xdx

5. ∫x+5x2−6x+13 dx\int\dfrac{x+5}{x^2-6x+13}\,dx∫x2−6x+13x+5​dx

6. ∫x dxx4+2x2+5\int\dfrac{x\,dx}{x^4+2x^2+5}∫x4+2x2+5xdx​

7. ∫dxsin⁡2x+2sin⁡x\int\dfrac{dx}{\sin2x+2\sin x}∫sin2x+2sinxdx​

8. ∫dxcos⁡x(1+sin⁡x)\int\dfrac{dx}{\cos x(1+\sin x)}∫cosx(1+sinx)dx​

9. ∫dxsin⁡x(sin⁡x+cos⁡x)\int\dfrac{dx}{\sin x(\sin x+\cos x)}∫sinx(sinx+cosx)dx​

10. ∫1xx+1x dx\int\dfrac1x\sqrt{\dfrac{x+1}{x}}\,dx∫x1​xx+1​​dx

11. 已知 sin⁡xx\dfrac{\sin x}{x}xsinx​ 是 f(x)f(x)f(x) 的一个原函数，求 ∫x3f′(x) dx\int x^3f'(x)\,dx∫x3f′(x)dx

12. ∫x4−x3 dx\int\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{4-x^3}}\,dx∫4−x3​x​​dx

13. ∫esin⁡θcos⁡θ+sin⁡θ⋅1(cos⁡θ+sin⁡θ)2 dθ\int e^{\frac{\sin\theta}{\cos\theta+\sin\theta}}\cdot\dfrac{1}{(\cos\theta+\sin\theta)^2}\,d\theta∫ecosθ+sinθsinθ​⋅(cosθ+sinθ)21​dθ

1. 连续函数 $f(x)$ 必有原函数

2.5 三角函数的积分法 $\int R(\sin x,\cos x)\,dx$ #

2. 设 $f(x)=\begin{cases}e^x,&x\geq0,\\ \cos x,&x<0,\end{cases}$ 求 $\int f(x)\,dx$

3.（选择题）函数 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}},&x\leq0,\\ (x+1)\cos x,&x>0\end{cases}$ 的一个原函数为

1. $\int\dfrac{x^4-x^2}{1+x^2}\,dx$

2. $\int\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}\,dx$

3. $\int x^2\sin x\,dx$

4. $\int e^x\sin^2x\,dx$

5. $\int\dfrac{x+5}{x^2-6x+13}\,dx$

6. $\int\dfrac{x\,dx}{x^4+2x^2+5}$

7. $\int\dfrac{dx}{\sin2x+2\sin x}$

8. $\int\dfrac{dx}{\cos x(1+\sin x)}$

9. $\int\dfrac{dx}{\sin x(\sin x+\cos x)}$

10. $\int\dfrac1x\sqrt{\dfrac{x+1}{x}}\,dx$

11. 已知 $\dfrac{\sin x}{x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，求 $\int x^3f'(x)\,dx$

12. $\int\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{4-x^3}}\,dx$

13. $\int e^{\frac{\sin\theta}{\cos\theta+\sin\theta}}\cdot\dfrac{1}{(\cos\theta+\sin\theta)^2}\,d\theta$