高等数学（下）· 讲义第 10–22 页

定积分与反常积分

106: 内容块
21: 例题
6: 公式表
2: 互动图解

与原稿逐页对照（卡片右上角页码签）· 课堂笔记与随堂例题见右栏

➊（一）基础知识#

一. 定积分的概念与性质：1. 定积分的定义和几何意义；2. 定积分存在性的一些结论；3. 定积分的性质。

一. 定积分的概念与性质#

1.1 定积分的定义和几何意义#

讲义 P10

定义 DEFINITION9.1

定积分的定义

定义若函数

f(x)

在区间

[a,b]

上有界，在

(a,b)

上任取

n-1

个分点

x_i\ (i=1,2,3,\ldots,n-1)

，定义

x_0=a

和

x_n=b

，且

a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b

，记

\Delta x_k=x_k-x_{k-1},\ k=1,2,3,\ldots,n

，并任取一点

\xi_k\in[x_{k-1},x_k]

，记

\lambda=\max\limits_{1\leq k\leq n}\{\Delta x_k\}

，若当

\lambda\to0

时，极限

\lim\limits_{\lambda\to0}\sum\limits_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta x_k

存在且与分点

x_k

及点

\xi_k

的取法无关，则称此极限为

f(x)

在

[a,b]

上的定积分，记作

\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\,\Delta x_k

此时也称函数

f(x)

在区间

[a,b]

上可积。

讲义 P10

注 NOTE

注：1) 定积分的定义常用于计算

n

项和式的极限，特别地，

\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f\left(a+\frac{b-a}{n}i\right)\frac{b-a}{n}

；

\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)\frac{1}{n}

； 2) 可积函数

f(x)

在给定区间上的积分为一常数，与变量符号无关：

\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f(t)\,dt=\int_a^b f(u)\,du

。

2. 定积分的几何意义：面积的代数值。

1.2 定积分的存在性（函数可积性）#

1. 定积分存在的必要条件： $\int_a^b f(x)\,dx$ 存在，则要求区间 $[a,b]$ 为有限长度，且 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上必有界。

2. 定积分存在的充分条件：

讲义 P10

定理 THEOREM9.1

定理

f(x)

在区间

[a,b]

上连续，则

\int_a^b f(x)\,dx

存在；定理

f(x)

在区间

[a,b]

上有界，且只有有限个间断点，则

\int_a^b f(x)\,dx

存在；定理

f(x)

在区间

[a,b]

上只有有限个第一类间断点，则

\int_a^b f(x)\,dx

存在。

讲义 P11

注 NOTE

注：定积分的存在性（可积性）可以通过定义去理解。

1.3 定积分的性质#

讲义 P11

表 TABLE9.1定积分的性质 1–4共 4 式

(1)

\int_a^b\left[k_1f(x)\pm k_2g(x)\right]dx=k_1\int_a^b f(x)\,dx\pm k_2\int_a^b g(x)\,dx

1. 线性性质P11

(2)

\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx

2. 可加性P11

(3)

f(x)\leq g(x)\ \Rightarrow\ \int_a^b f(x)\,dx\leq\int_a^b g(x)\,dx

3. 保号性P11

(4)

m(b-a)\leq\int_a^b f(x)\,dx\leq M(b-a)

4. 估值定理P11

(2)无论

a,b,c

的大小如何总成立。注：规定当

b=a

时

\int_a^b f(x)\,dx=0

；当

a>b

时

\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx

。

(3)特殊地，

\int_a^b f(x)\,dx\leq\int_a^b|f(x)|\,dx

。

(4)

M,\ m

分别是

f(x)

在

[a,b]

上的最大值和最小值。

讲义 P11

定理 THEOREM9.2

5. 积分中值定理

设

f(x)

在区间

[a,b]

上连续，则在

(a,b)

上至少存在一点

\xi

，使得

\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=f(\xi)(b-a)

。

讲义 P11

定理 THEOREM9.3

6. 推广的积分中值定理

设

f(x),g(x)

在区间

[a,b]

上连续，

g(x)

在

[a,b]

上不变号，则在

[a,b]

上至少存在一点

\xi

，使得

\int_a^b f(x)g(x)\,dx=f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx.

讲义 P11

证明 PROOF（点击折叠）

（课堂手写，利用柯西中值定理）设

F(x)=\int_a^x g(t)\,dt

，

G(x)=\int_a^x f(t)g(t)\,dt

，由柯西中值定理，存在

\xi\in(a,b)

使

\frac{G(b)-G(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{G'(\xi)}{F'(\xi)}=\frac{f(\xi)g(\xi)}{g(\xi)}=f(\xi),

即

\displaystyle\frac{\int_a^b f(x)g(x)\,dx}{\int_a^b g(x)\,dx}=f(\xi)

，整理得

\int_a^b f(x)g(x)\,dx=f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx

。

✨ 优化证明（对照版）

更规范的写法：不妨设

g(x)\geq0

（不变号）。若

\int_a^b g(x)\,dx=0

，则

g\equiv0

，等式两边均为 0，任取

\xi

即可。若

\int_a^b g(x)\,dx>0

，设

m,M

为

f

在

[a,b]

上的最小、最大值，则

m\,g(x)\leq f(x)g(x)\leq M\,g(x)

，积分得

m\int_a^b g(x)\,dx\leq\int_a^b f(x)g(x)\,dx\leq M\int_a^b g(x)\,dx,

即

m\leq\dfrac{\int_a^b f(x)g(x)\,dx}{\int_a^b g(x)\,dx}\leq M

，由连续函数介值定理，存在

\xi\in[a,b]

使

f(\xi)=\dfrac{\int_a^b f(x)g(x)\,dx}{\int_a^b g(x)\,dx}

。对比：手写版用柯西中值定理一步到位（

\xi\in(a,b)

），优化版用保号性+介值定理（

\xi\in[a,b]

），两条路线都值得掌握。

二. 定积分的计算#

大纲：1. 不定积分 + 牛顿-莱布尼兹公式；2. 定积分计算的一些常用方法与结论。

2.1 牛顿-莱布尼兹公式#

讲义 P11

定理 THEOREM9.4

牛顿-莱布尼兹公式

定理设函数

F(x)

是连续函数

f(x)

在

[a,b]

上的一个原函数，则

\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(x)\Big|_a^b=F(b)-F(a)

。

讲义 P11

证明 PROOF（点击折叠）

证：令

G(x)=\int_a^x f(t)\,dt,\ a\leq x\leq b

，则有

G(b)=\int_a^b f(t)\,dt

，

G(a)=0

。又

F'(x)=f(x)

且

G(x)=F(x)+C

，则

\int_a^b f(x)\,dx=G(b)-G(a)=F(b)-F(a)

。

2.2 定积分计算的一些常用方法与结论#

1. 对称区间上的定积分：考虑 $[-l,l]$ 上的连续函数的定积分 $\int_{-l}^{l}f(x)\,dx$ 。

讲义 P11

表 TABLE9.2共 2 式

(1)

f(x)\text{ 是奇函数}\ \Rightarrow\ \int_{-l}^{l}f(x)\,dx=0

P12

(2)

f(x)\text{ 是偶函数}\ \Rightarrow\ \int_{-l}^{l}f(x)\,dx=2\int_{0}^{l}f(x)\,dx

P12

2. 常用积分公式

讲义 P12

表 TABLE9.3共 3 式

(1)

\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)\,dx;\qquad \int_0^{\pi}xf(\sin x)\,dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}f(\sin x)\,dx

(1) $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续P12

(2)

\int_a^{a+nT}f(x)\,dx=n\int_0^{T}f(x)\,dx

(2) $f(x)$ 是连续的周期函数，周期为 $T$P12

(3)

\int_a^{b}f(x)\,dx=\int_a^{b}f(a+b-x)\,dx

(3) 区间再现，$f(x)$ 为连续函数P12

(2)

n

为正整数。

(3)推论：

\int_a^b f(x)\,dx=\dfrac12\int_a^b\left[f(x)+f(a+b-x)\right]dx

。

讲义 P12

表 TABLE9.4华里士（Wallis）公式共 4 式

(1)

\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx\,dx=\begin{cases}\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{2}{3}\cdot1,&n\text{ 为大于 }1\text{ 的奇数},\\[4pt]\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2},&n\text{ 为正偶数}.\end{cases}

(4)P12

(2)

\int_0^{\pi}\sin^nx\,dx=\begin{cases}2\cdot\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{2}{3}\cdot1,&n\text{ 为大于 }1\text{ 的奇数},\\[4pt]2\cdot\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2},&n\text{ 为正偶数}.\end{cases}

(5)P12

(3)

\int_0^{\pi}\cos^nx\,dx=\begin{cases}0,&n\text{ 为正奇数},\\[4pt]2\cdot\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2},&n\text{ 为正偶数}.\end{cases}

(5) 附P12

(4)

\int_0^{2\pi}\sin^nx\,dx=\int_0^{2\pi}\cos^nx\,dx=\begin{cases}0,&n\text{ 为正奇数},\\[4pt]4\cdot\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2},&n\text{ 为正偶数}.\end{cases}

(6)（手写补充）P12

讲义 P12

注 NOTE

注：(4)、(5) 叫华里士公式，利用华里士公式可快速计算某些特殊的定积分，如

\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^8x\,dx=\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{35\pi}{256};\qquad \int_0^{\pi}\sin^9x\,dx=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^9x\,dx=2\cdot\frac{8}{9}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot1=\frac{256}{315}.

(6) 计算定积分，有必要的时候可以利用几何意义简化运算。

讲义 P12

解题范式 PATTERN

范式：华里士公式点火口诀

识别特征　 $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,dx$ 或 $\cos^nx$ （及其 $\int_0^\pi$ 、 $\int_0^{2\pi}$ 推广）的幂次三角积分。

固定套路

先看 $n$ 的奇偶
点火：从 $\frac{n-1}{n}$ 起分子分母隔项递减写分数链
$n$ 为正偶数落到 $\frac12\cdot\frac{\pi}{2}$ ， $n$ 为大于 1 的奇数落到 $\frac23\cdot1$
推广： $\int_0^\pi\sin^nx\,dx=2I_n$ ； $\int_0^{2\pi}$ 偶数倍为 $4I_n$ 、奇次为 $0$ （ $\cos$ 在 $[0,\pi]$ 奇次亦为 $0$ ）

易错点　① 偶数链忘乘 $\frac{\pi}{2}$ ；② $\cos^nx$ 在 $[0,\pi]$ 上奇次为 $0$ ，误套 $2I_n$ ；③ 积分区间不是 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 时直接代公式（应先换元或拆区间）。

经验　偶落 $\frac{\pi}{2}$ 奇落 $1$ ，点火倒数一撸到底。

讲义 P12

华里士公式 · 点火口诀生成器

快速试：

n = 8（正偶数 → 落到 π/2）

\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{8}x\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{8}x\,dx

点火倒计时（从 n 开始隔一个写一个）：

7/85/63/4π/2

= 35π/256≈ 0.42951

点火口诀： $\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,dx$ 从 $n$ 开始，分子分母隔项递减“倒数点火”—— $n$ 为正偶数落到 $\frac12\cdot\frac{\pi}{2}$ ， $n$ 为大于 1 的奇数落到 $\frac23\cdot1$ 。推广： $\int_0^{\pi}\sin^nx\,dx=2I_n$ （ $\cos$ 奇次为 0）， $\int_0^{2\pi}=4I_n$ （ $n$ 偶）或 $0$ （ $n$ 奇）。

点火口诀互动：拖动 n，自动生成华里士分数链与精确值

讲义 P12

解题范式 PATTERN

范式：对称区间与区间再现

识别特征　积分区间关于原点对称（ $[-a,a]$ ），或被积函数可拆出奇、偶部分；非对称区间但被积函数直接算不动。

固定套路

对称区间：把被积函数拆成奇部 + 偶部
奇部直接归 0，偶部 = 2 × 半区间积分
非对称区间：试区间再现 $x\to a+b-x$ ，与原式相加折半
含 $\sqrt{a^2-x^2}$ 型别忘了几何意义（圆面积）

易错点　① 整个被积函数不奇不偶就放弃——其实总能拆出奇部 $\frac{f(x)-f(-x)}{2}$ 与偶部 $\frac{f(x)+f(-x)}{2}$ ；② 区间再现后忘折半；③ 把 $\int_{-a}^a$ 的结论套到非对称区间。

经验　对称区间先查奇偶，奇零偶倍；算不动就区间再现。

三. 变限积分的定义和性质#

大纲：1. 变限积分的定义；2. 变限积分的性质；3. 变限积分求导。

3.1 变限积分的定义#

讲义 P13

定义 DEFINITION9.2

定理当

x

在

[a,b]

上变动时，对应于每一个

x

值，积分

\int_a^x f(t)\,dt

都有一个确定的值，因此

\int_a^x f(t)\,dt

是一个关于

x

的函数，记作

F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\ \ (a\leq x\leq b)

，称函数

F(x)

为变上限的定积分。同理可以定义变下限的定积分和上、下限都变化的定积分，这些都称为变限积分。事实上，变限积分就是定积分的推广。

3.2 变限积分的性质#

1. 函数 $f(x)$ 在 $I$ 上可积，则函数 $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ 在 $I$ 上连续。

2. 函数 $f(x)$ 在 $I$ 上连续，则函数 $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ 在 $I$ 上可导且 $F'(x)=f(x)$ 。（原函数存在定理）

讲义 P13

定理 THEOREM9.5

3. 间断点处的结论

若

x=x_0\in I

是

f(x)

唯一的跳跃间断点，则

F(x)=\int_a^x f(t)\,dt

在

x_0

处不可导，且

\begin{cases}F'_-(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x),\\[4pt]F'_+(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x).\end{cases}

若

x=x_0\in I

是

f(x)

唯一的可去间断点，则

F(x)=\int_a^x f(t)\,dt

在

x_0

处可导，且

F'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\neq f(x_0)

。

讲义 P13

证明 PROOF（点击折叠）

证明：因为

x=x_0\in I

是

f(x)

唯一的间断点，所以

x\neq x_0

时，

f(x)

连续，此时

F(x)=\int_a^x f(t)\,dt

可导，且

F'(x)=f(x)

，而

F'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}

。若

x_0\in I

是

f(x)

的跳跃间断点，由洛必达法则

F'_-(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)

，

F'_+(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)

，因为

\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)\neq\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)

，所以此时

F'_-(x_0)\neq F'_+(x_0)

，即

F(x)=\int_a^x f(t)\,dt

在

x_0

处不可导。若

x_0\in I

是

f(x)

的可去间断点，则

\lim\limits_{x\to x_0}f(x)

存在，于是

F'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)

存在。

讲义 P13

表 TABLE9.54. 变限积分的奇偶性与周期性共 3 式

(1)

f(x)\text{ 为可积的奇函数}\ \Rightarrow\ \int_0^{x}f(t)\,dt\text{ 为偶函数}

P13

(2)

f(x)\text{ 为可积的偶函数}\ \Rightarrow\ \int_0^{x}f(t)\,dt\text{ 为奇函数}

P14

(3)

f(x)\text{ 可积且以 }T\text{ 为周期}\ \Rightarrow\ \int_0^{x}f(t)\,dt\text{ 以 }T\text{ 为周期}\ \Leftrightarrow\ \int_0^{T}f(x)\,dx=0

P14

(1)注：若

f(x)

为连续的奇函数，则

\int_0^x f(t)\,dt+C

也是偶函数，故

f(x)

的全体原函数均为偶函数。

(2)注：若

f(x)

为连续的偶函数，则

f(x)

的全体原函数中，只有

\int_0^x f(t)\,dt

是奇函数。

(3)注：若

f(x)

为连续的周期函数，则

f(x)

的原函数亦是以

T

为周期的周期函数

\Leftrightarrow\int_0^T f(x)\,dx=0

。

3.3 变限积分求导#

讲义 P14

表 TABLE9.6共 2 式

(1)

F(x)=\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}f(t)\,dt\ \Rightarrow\ F'(x)=f(\psi(x))\,\psi'(x)-f(\varphi(x))\,\varphi'(x)

1.P14

(2)

F(x)=\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}g(x)f(t)\,dt\ \Rightarrow\ F'(x)=\left[g(x)\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}f(t)\,dt\right]_x'

2.P14

(2)将 g(x) 提出，用乘法求导运算法则。

讲义 P14

解题范式 PATTERN

范式：变限积分求导三招

识别特征　求含变限积分的函数的导数： $F(x)=\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}f(t)\,dt$ 型，或被积函数里混有 $x$ 。

固定套路

基本型：上限代入 × 上限导 − 下限代入 × 下限导
被积函数含 $x$ （如 $\int_0^x(x-t)f(t)\,dt$ ）：先把 $x$ 提出积分号或拆项，再用乘法法则
$x$ 藏在内层（如 $\int_0^x\cos(x-t)^2\,dt$ ）：先换元 $u=x-t$ ，把 $x$ 请到积分限上再求导

易错点　① 对含 $x$ 的被积函数直接套公式，漏掉乘法法则的项；② 下限忘乘 $\varphi'(x)$ 或忘变号；③ 换元后忘同步换积分限。

经验　变限求导三句话：代入乘导、提出再导、换元再导。

四. 反常积分的计算与敛散性判别#

大纲：1. 直接计算反常积分；2. 比较判别法。

无穷区间上的反常积分#

讲义 P14

定义 DEFINITION9.3

定义 1

设

F(x)

是

f(x)

在相应区间上的一个原函数。 1.

\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\,dx=\lim_{x\to+\infty}\int_a^x f(t)\,dt

，若上述极限存在，则称反常积分收敛，否则称发散。 2.

\displaystyle\int_{-\infty}^{b}f(x)\,dx=\lim_{x\to-\infty}\int_x^b f(t)\,dt

，若上述极限存在，则称反常积分收敛，否则称发散。 3.

\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=\int_{-\infty}^{a_0}f(t)\,dt+\int_{a_0}^{+\infty}f(x)\,dx

，若右端两个积分都收敛，则称反常积分收敛，否则称发散。

无界函数的反常积分（瑕积分）#

讲义 P14

定义 DEFINITION9.4

定义 2

设

F(x)

是

f(x)

在相应区间上的一个原函数，

x_0

为

f(x)

的瑕点。 1. 若

x=a

是唯一瑕点，则

\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{x\to a^+}\int_x^b f(x)\,dx

，若上述极限存在，则称反常积分收敛，否则称发散。 2. 若

x=b

是唯一瑕点，则

\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{x\to b^-}\int_a^x f(x)\,dx

，若上述极限存在，则称反常积分收敛，否则称发散。 3. 若

x=c\in(a,b)

是唯一瑕点，则

\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx

，若右端两个积分都收敛，则称反常积分收敛，否则称发散。

4.1 直接计算反常积分（先按计算常规定积分的方法计算，再对积分限取极限）。

4.2 比较判别法#

1. 无穷区间上的反常积分

讲义 P15

定理 THEOREM9.6

比较判别法

定理设

f(x),g(x)

在

[a,+\infty)

上连续，且

0\leq f(x)\leq g(x)

，则 (1) 当

\int_a^{+\infty}g(x)\,dx

收敛时，

\int_a^{+\infty}f(x)\,dx

也收敛。 (2) 当

\int_a^{+\infty}f(x)\,dx

发散时，

\int_a^{+\infty}g(x)\,dx

也发散。

讲义 P15

定理 THEOREM9.7

比较判别法的极限形式

定理设

f(x),g(x)

在

[a,+\infty)

上非负连续，且

\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lambda

（有限或无穷），则 (1) 当

\lambda\neq0

时，

\int_a^{+\infty}f(x)\,dx

与

\int_a^{+\infty}g(x)\,dx

同敛散。 (2) 当

\lambda=0

时，若

\int_a^{+\infty}g(x)\,dx

收敛，则

\int_a^{+\infty}f(x)\,dx

也收敛。 (3) 当

\lambda=+\infty

时，若

\int_a^{+\infty}g(x)\,dx

发散，则

\int_a^{+\infty}f(x)\,dx

也发散。

讲义 P15

注 NOTE

注：常用

\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}\,dx\begin{cases}p>1,&\text{收敛},\\ 0<p\leq1,&\text{发散}.\end{cases}

2. 无界函数的反常积分

讲义 P15

定理 THEOREM9.8

比较判别法

定理设

f(x),g(x)

在

(a,b]

上连续，且

0\leq f(x)\leq g(x)

，

x=a

为

f(x)

和

g(x)

的瑕点。 (1) 当

\int_a^{b}g(x)\,dx

收敛时，

\int_a^{b}f(x)\,dx

收敛。 (2) 当

\int_a^{b}f(x)\,dx

发散时，

\int_a^{b}g(x)\,dx

发散。

讲义 P15

定理 THEOREM9.9

比较判别法的极限形式

定理设

f(x),g(x)

在

(a,b]

上非负连续，

x=a

为

f(x)

和

g(x)

的瑕点，且

\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lambda

（有限或无穷），则 (1) 当

\lambda\neq0

时，

\int_a^{b}f(x)\,dx

与

\int_a^{b}g(x)\,dx

同敛散。 (2) 当

\lambda=0

时，若

\int_a^{b}g(x)\,dx

收敛，则

\int_a^{b}f(x)\,dx

也收敛。 (3) 当

\lambda=+\infty

时，若

\int_a^{b}g(x)\,dx

发散，则

\int_a^{b}f(x)\,dx

也发散。

讲义 P16

注 NOTE

注：常用

\displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{x^p}\,dx\begin{cases}0<p<1,&\text{收敛},\\ p\geq1,&\text{发散}.\end{cases}

讲义 P15

解题范式 PATTERN

范式：反常积分判敛流程

识别特征　无穷限积分或含瑕点的积分，要求判敛或定参数。

固定套路

找出所有「坏点」：无穷限 $\pm\infty$ 与每个瑕点，逐点拆成单边反常积分
在每个坏点处给被积函数找等价/比阶对象 $\dfrac{1}{x^p}$ （或 $\dfrac{1}{(x-a)^p}$ ）
套 p 积分结论：无穷限 $p>1$ 收敛；瑕点 $p<1$ 收敛； $\lambda\neq0$ 同敛散
所有坏点都收敛才收敛；计算型先按常规定积分算，再对积分限取极限

易错点　① 区间内部的瑕点漏拆（如 $\int_{-1}^1\frac{dx}{x}$ 绝不能直接牛顿-莱布尼兹）；② 比较判别法忘验证非负；③ $\lambda=0$ / $+\infty$ 两种单向结论的方向记反。

经验　先找坏点，再比 p 阶，逐点过关。

讲义 P15

p-积分敛散性可视化

当前：

p = 1.50

收敛 = 2.0000

截到 30 的部分积分：1.635（趋于有限值）

拖动 p，观察判敛临界线 p = 1

判敛口诀：无穷限积分 $\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$ ， $p>1$ 收敛、 $p\le1$ 发散；瑕积分 $\int_0^1\frac{dx}{x^p}$ ， $p<1$ 收敛、 $p\ge1$ 发散。两者结论正好相反，临界都是 $p=1$ 。

p-积分敛散可视化：拖动

p

，看

\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}

与

\int_0^1\frac{dx}{x^p}

的收敛临界线

p=1

➋（二）相关例题#

一. 定积分的概念与性质#

讲义 P17

例题 EXAMPLE9.1

1. 在区间 [−1,2] 上，以下四个结论，正确结论的个数为

①

f(x)=\begin{cases}2,&x>0,\\ 1,&x=0,\\ -1,&x<0\end{cases}

有原函数，但其定积分不存在； ②

f(x)=\begin{cases}2x\sin\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{2}{x}\cos\dfrac{1}{x^2},&x\neq0,\\ 0,&x=0\end{cases}

有原函数，其定积分也存在； ③

f(x)=\begin{cases}\dfrac1x,&x\neq0,\\ 0,&x=0\end{cases}

没有原函数，其定积分也不存在； ④

f(x)=\begin{cases}2x\cos\dfrac1x+\sin\dfrac1x,&x\neq0,\\ 0,&x=0\end{cases}

有原函数，其定积分也存在。 (A) 1　(B) 2　(C) 3　(D) 4

讲义 P17

例题 EXAMPLE9.2

2. $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^2}\left(\sin\dfrac1n+2\sin\dfrac2n+\cdots+n\sin\dfrac nn\right)$

n 项和式的极限。

讲义 P17

例题 EXAMPLE9.3

3. 设在区间 $[a,b]$ 上 $f(x)>0$ ， $f'(x)<0$ ， $f''(x)>0$ ，比较 $S_1,S_2,S_3$

令

S_1=\int_a^b f(x)\,dx

，

S_2=f(b)(b-a)

，

S_3=\dfrac12[f(a)+f(b)](b-a)

，则 (A)

S_1<S_2<S_3

　(B)

S_2<S_1<S_3

　(C)

S_3<S_1<S_2

　(D)

S_2<S_3<S_1

讲义 P18

例题 EXAMPLE9.4

4. 设 $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln\sin x\,dx$ ， $J=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln\cot x\,dx$ ， $K=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln\cos x\,dx$ ，比较三者大小

三者的大小关系是____。

二. 定积分的计算#

讲义 P18

例题 EXAMPLE9.5

1. $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^3+\sin^2x)\cos^2x\,dx$

对称区间，先拆奇偶。

讲义 P18

例题 EXAMPLE9.6

2. $\int_{-\pi}^{\pi}\left(\sin^3x+\sqrt{\pi^2-x^2}\right)dx$

奇偶拆分 + 几何意义。

讲义 P18

注 NOTE

注：由几何意义可知当

a>0

时， (1)

\displaystyle\int_0^{a}\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\frac{\pi a^2}{4}

；　(2)

\displaystyle\int_0^{a}\sqrt{2ax-x^2}\,dx=\frac{\pi a^2}{4}

；　(3)

\displaystyle\int_0^{2a}\sqrt{2ax-x^2}\,dx=\frac{\pi a^2}{2}

。

讲义 P18

例题 EXAMPLE9.7

3. $\int_0^{\pi}x\sin^2x\,dx$

含

x

乘

\sin

的函数，套公式

\int_0^\pi xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)dx

。

讲义 P18

例题 EXAMPLE9.8

4. 计算定积分 $\int_0^{1}\dfrac{x}{(2-x^2)\sqrt{1-x^2}}\,dx$

含

\sqrt{1-x^2}

，三角代换

x=\sin t

。

讲义 P19

例题 EXAMPLE9.9

5. $\int_0^{\pi^2}\sqrt{x}\cos\sqrt{x}\,dx$

根式代换

\sqrt{x}=t

，化成分部积分表格法。

讲义 P19

例题 EXAMPLE9.10

6. 计算 $\int_0^{1}x\arcsin x\,dx$

换元

\arcsin x=t

再分部（或直接分部）。

讲义 P19

例题 EXAMPLE9.11

7. 设 $f(x)=\int_0^{x}\dfrac{\sin t}{\pi-t}\,dt$ ，计算 $\int_0^{\pi}f(x)\,dx$

变限积分再积分，分部把 f 换成 f′。

三. 变限积分#

讲义 P19

例题 EXAMPLE9.12

1. 设 $g(x)=\int_a^{x}f(t)\,dt$ ，其中 $f(x)=\begin{cases}\dfrac12(x^2+1),&0\leq x\leq1,\\[2pt]\dfrac13(x-1),&1<x\leq2,\end{cases}$ 则 $g(x)$ 在 $(0,2)$ 内是

(A) 无界函数　(B) 非连续函数　(C) 单调递减函数　(D) 连续函数

讲义 P19

例题 EXAMPLE9.13

2. 设奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有连续导数，则

(A)

\int_0^x\left[\cos f(t)+f'(t)\right]dt

是奇函数 (B)

\int_0^x\left[\cos f(t)+f'(t)\right]dt

是偶函数 (C)

\int_0^x\left[\cos f'(t)+f(t)\right]dt

是奇函数 (D)

\int_0^x\left[\cos f'(t)+f(t)\right]dt

是偶函数

讲义 P20

例题 EXAMPLE9.14

3. 设 $f(x)$ 连续，试求下列函数的导数

(1)

\displaystyle\int_{e^x}^{x^2}f(t)\,dt

；　(2)

\displaystyle\int_0^{x}(x-t)f(t)\,dt

；　(3)

\displaystyle\int_0^{x}\cos(x-t)^2\,dt

。

讲义 P20

例题 EXAMPLE9.15

4. 已知 $f(x)=\begin{cases}x^2,&0\leq x<1,\\ 1,&1\leq x\leq2,\end{cases}$ 设 $F(x)=\int_1^{x}f(t)\,dt\ (0\leq x\leq2)$ ，则 $F(x)$ 为

(A)

\begin{cases}\frac13x^3,&0\leq x<1,\\ x,&1\leq x\leq2.\end{cases}

　(B)

\begin{cases}\frac13x^3-\frac13,&0\leq x<1,\\ x,&1\leq x\leq2.\end{cases}

(C)

\begin{cases}\frac13x^3,&0\leq x<1,\\ x-1,&1\leq x\leq2.\end{cases}

　(D)

\begin{cases}\frac13x^3-\frac13,&0\leq x<1,\\ x-1,&1\leq x\leq2.\end{cases}

讲义 P20

例题 EXAMPLE9.16

5. 确定常数 $a,b,c$ 的值，使 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{ax-\sin x}{\int_b^{x}\frac{\ln(1+t^3)}{t}\,dt}=c\ (c\neq0)$

含变限积分的 0/0 极限反求参数。

四. 反常积分#

讲义 P21

例题 EXAMPLE9.17

1. 下列积分中收敛的是

(A)

\displaystyle\int_2^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx

　(B)

\displaystyle\int_2^{+\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx

　(C)

\displaystyle\int_2^{+\infty}\frac{1}{x\ln x}\,dx

　(D)

\displaystyle\int_2^{+\infty}\frac{x}{e^x}\,dx

讲义 P21

例题 EXAMPLE9.18

2. $\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{x^a(1+x)^b}\,dx$ 收敛，则

(A)

a<1,\ b>1

　(B)

a>1,\ b>1

　(C)

a<1,\ a+b>1

　(D)

a>1,\ a+b>1

讲义 P21

例题 EXAMPLE9.19

3. 判别下列反常积分的敛散性

(1)

\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\sqrt{x}}{1+x^2}\,dx

；　(2)

\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{x}{1+x^2}\,dx

。

讲义 P21

例题 EXAMPLE9.20

4. 判定反常积分 $\int_0^{1}\dfrac{dx}{\sqrt{x-x^2}}$ 的敛散性

x=0

与

x=1

都是瑕点。

讲义 P22

例题 EXAMPLE9.21

5. 设函数 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{(x-1)^{\alpha-1}},&1<x<e,\\[4pt]\dfrac{1}{x\ln^{\alpha+1}x},&x\geq e,\end{cases}$ 若反常积分 $\int_1^{+\infty}f(x)\,dx$ 收敛，则

(A)

\alpha<-2

　(B)

\alpha>2

　(C)

-2<\alpha<0

　(D)

0<\alpha<2

—— 本讲完 ——

定积分与反常积分

➊（一）基础知识#

一. 定积分的概念与性质#

1.1 定积分的定义和几何意义#

定积分的定义

1.2 定积分的存在性（函数可积性）#

1.3 定积分的性质#

5. 积分中值定理

6. 推广的积分中值定理

二. 定积分的计算#

2.1 牛顿-莱布尼兹公式#

牛顿-莱布尼兹公式

2.2 定积分计算的一些常用方法与结论#

范式：华里士公式点火口诀

范式：对称区间与区间再现

三. 变限积分的定义和性质#

3.1 变限积分的定义#

3.2 变限积分的性质#

3. 间断点处的结论

3.3 变限积分求导#

范式：变限积分求导三招

四. 反常积分的计算与敛散性判别#

无穷区间上的反常积分#

定义 1

无界函数的反常积分（瑕积分）#

定义 2

4.2 比较判别法#

比较判别法

比较判别法的极限形式

比较判别法

比较判别法的极限形式

范式：反常积分判敛流程

➋（二）相关例题#

一. 定积分的概念与性质#

1. 在区间 [−1,2] 上，以下四个结论，正确结论的个数为

2. lim⁡n→∞1n2(sin⁡1n+2sin⁡2n+⋯+nsin⁡nn)\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^2}\left(\sin\dfrac1n+2\sin\dfrac2n+\cdots+n\sin\dfrac nn\right)n→∞lim​n21​(sinn1​+2sinn2​+⋯+nsinnn​)

3. 设在区间 [a,b][a,b][a,b] 上 f(x)>0f(x)>0f(x)>0，f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0，f′′(x)>0f''(x)>0f′′(x)>0，比较 S1,S2,S3S_1,S_2,S_3S1​,S2​,S3​

4. 设 I=∫0π4ln⁡sin⁡x dxI=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln\sin x\,dxI=∫04π​​lnsinxdx，J=∫0π4ln⁡cot⁡x dxJ=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln\cot x\,dxJ=∫04π​​lncotxdx，K=∫0π4ln⁡cos⁡x dxK=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln\cos x\,dxK=∫04π​​lncosxdx，比较三者大小

二. 定积分的计算#

1. ∫−π2π2(x3+sin⁡2x)cos⁡2x dx\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^3+\sin^2x)\cos^2x\,dx∫−2π​2π​​(x3+sin2x)cos2xdx

2. ∫−ππ(sin⁡3x+π2−x2)dx\int_{-\pi}^{\pi}\left(\sin^3x+\sqrt{\pi^2-x^2}\right)dx∫−ππ​(sin3x+π2−x2​)dx

3. ∫0πxsin⁡2x dx\int_0^{\pi}x\sin^2x\,dx∫0π​xsin2xdx

4. 计算定积分 ∫01x(2−x2)1−x2 dx\int_0^{1}\dfrac{x}{(2-x^2)\sqrt{1-x^2}}\,dx∫01​(2−x2)1−x2​x​dx

5. ∫0π2xcos⁡x dx\int_0^{\pi^2}\sqrt{x}\cos\sqrt{x}\,dx∫0π2​x​cosx​dx

6. 计算 ∫01xarcsin⁡x dx\int_0^{1}x\arcsin x\,dx∫01​xarcsinxdx

7. 设 f(x)=∫0xsin⁡tπ−t dtf(x)=\int_0^{x}\dfrac{\sin t}{\pi-t}\,dtf(x)=∫0x​π−tsint​dt，计算 ∫0πf(x) dx\int_0^{\pi}f(x)\,dx∫0π​f(x)dx

三. 变限积分#

2. 设奇函数 f(x)f(x)f(x) 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞) 上具有连续导数，则

3. 设 f(x)f(x)f(x) 连续，试求下列函数的导数

4. 已知 f(x)={x2,0≤x<1,1,1≤x≤2,f(x)=\begin{cases}x^2,&0\leq x<1,\\ 1,&1\leq x\leq2,\end{cases}f(x)={x2,1,​0≤x<1,1≤x≤2,​ 设 F(x)=∫1xf(t) dt (0≤x≤2)F(x)=\int_1^{x}f(t)\,dt\ (0\leq x\leq2)F(x)=∫1x​f(t)dt (0≤x≤2)，则 F(x)F(x)F(x) 为

5. 确定常数 a,b,ca,b,ca,b,c 的值，使 lim⁡x→0ax−sin⁡x∫bxln⁡(1+t3)t dt=c (c≠0)\lim\limits_{x\to0}\dfrac{ax-\sin x}{\int_b^{x}\frac{\ln(1+t^3)}{t}\,dt}=c\ (c\neq0)x→0lim​∫bx​tln(1+t3)​dtax−sinx​=c (c=0)

四. 反常积分#

1. 下列积分中收敛的是

2. ∫0+∞1xa(1+x)b dx\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{x^a(1+x)^b}\,dx∫0+∞​xa(1+x)b1​dx 收敛，则

3. 判别下列反常积分的敛散性

4. 判定反常积分 ∫01dxx−x2\int_0^{1}\dfrac{dx}{\sqrt{x-x^2}}∫01​x−x2​dx​ 的敛散性

2. $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^2}\left(\sin\dfrac1n+2\sin\dfrac2n+\cdots+n\sin\dfrac nn\right)$

3. 设在区间 $[a,b]$ 上 $f(x)>0$ ， $f'(x)<0$ ， $f''(x)>0$ ，比较 $S_1,S_2,S_3$

4. 设 $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln\sin x\,dx$ ， $J=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln\cot x\,dx$ ， $K=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln\cos x\,dx$ ，比较三者大小

1. $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^3+\sin^2x)\cos^2x\,dx$

2. $\int_{-\pi}^{\pi}\left(\sin^3x+\sqrt{\pi^2-x^2}\right)dx$

3. $\int_0^{\pi}x\sin^2x\,dx$

4. 计算定积分 $\int_0^{1}\dfrac{x}{(2-x^2)\sqrt{1-x^2}}\,dx$

5. $\int_0^{\pi^2}\sqrt{x}\cos\sqrt{x}\,dx$

6. 计算 $\int_0^{1}x\arcsin x\,dx$

7. 设 $f(x)=\int_0^{x}\dfrac{\sin t}{\pi-t}\,dt$ ，计算 $\int_0^{\pi}f(x)\,dx$

2. 设奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有连续导数，则

3. 设 $f(x)$ 连续，试求下列函数的导数

4. 已知 $f(x)=\begin{cases}x^2,&0\leq x<1,\\ 1,&1\leq x\leq2,\end{cases}$ 设 $F(x)=\int_1^{x}f(t)\,dt\ (0\leq x\leq2)$ ，则 $F(x)$ 为

5. 确定常数 $a,b,c$ 的值，使 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{ax-\sin x}{\int_b^{x}\frac{\ln(1+t^3)}{t}\,dt}=c\ (c\neq0)$

2. $\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{x^a(1+x)^b}\,dx$ 收敛，则

4. 判定反常积分 $\int_0^{1}\dfrac{dx}{\sqrt{x-x^2}}$ 的敛散性